Ensino Médio ⇒ Álgebra Tópico resolvido

[ALDRIN]

Resolver:

[tex3]x+\sqrt{17-x^2}+x\sqrt{17-x^2}=9[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+\sqrt{17-x^2}+x\sqrt{17-x^2}=9[/tex3]

[Andre13000]

Acho q você errou na hora de escrever a questão. De uma verificada.

[undefinied3]

A questão está correta, pelo menos dá pra resolver eu digo.

Por inspeção, x=1 e x=4 são raízes. "Tá, mas porque você viu exatamente esses valores?" Porque sim. O lado direito ser racional e a restrição das raízes [tex3]17-x^2 \geq 0[/tex3]

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[tex3]17-x^2 \geq 0[/tex3]

nos leva a testar imediatamente todos os naturais de 0 até 4.
Agora, mais do que isso, eu te afirmo que são as únicas raízes (ao menos reais). Demonstração:

[tex3]\sqrt{17-x^2}(x+1)=9-x \rightarrow (17-x^2)(x^2+2x+1)=81-18x+x^2[/tex3]

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[tex3]\sqrt{17-x^2}(x+1)=9-x \rightarrow (17-x^2)(x^2+2x+1)=81-18x+x^2[/tex3]

[tex3]17x^2+34x+17-x^4-2x^3-x^2=81-18x+x^2[/tex3]

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[tex3]17x^2+34x+17-x^4-2x^3-x^2=81-18x+x^2[/tex3]

[tex3]x^4 + 2 x^3 - 15 x^2 - 52 x + 64 = 0[/tex3]

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[tex3]x^4 + 2 x^3 - 15 x^2 - 52 x + 64 = 0[/tex3]

É polinômio que dá pra fatorar mesmo sem saber as raízes, mas na base da tentativa e erro. Felizmente, já identificamos duas raízes, x=1 e x=4. Assim, esse polinômio deve ser divisível por [tex3](x-1)(x-4)=x^2-5x+4[/tex3]

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[tex3](x-1)(x-4)=x^2-5x+4[/tex3]

. De fato, ao fatorar o polinômio, temos:

[tex3](x^2-5x+4)(x^2+7x+16)=0[/tex3]

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[tex3](x^2-5x+4)(x^2+7x+16)=0[/tex3]

Assim, x=1 e x=4 são de fato as únicas raízes reais.