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Produto de Senos
Enviado: Sex 07 Abr, 2017 21:12
por undefinied3
Encontre o menor inteiro positivo n tal que: (valores todos em graus, inclusive n)
[tex3]\frac{1}{sen(45)sen(46)}+\frac{1}{sen(47)sen(48)}+...+\frac{1}{sen(133)sen(134)}=\frac{1}{sen(n)}[/tex3]
Prove, portanto, que:
[tex3]\frac{1}{sen(1)sen(2)}+\frac{1}{sen(2)sen(3)}+...+\frac{1}{sen(89)sen(90)}=\frac{cos(1)}{sen^2(1)}[/tex3]
Re: Produto de Senos
Enviado: Sex 07 Abr, 2017 23:43
por Ittalo25
O padrão nesse caso tá fácil de encontrar, a diferença dos angulos dos denominadores é sempre 1.
Perceba que;
[tex3]\frac{sen(1)}{sen(a)sen(a+1)}=\frac{sen(a+1-a)}{sen(a)sen(a+1)} = \frac{sen(a+1)cos(a) - sen(a)cos(a+1)}{sen(a)sen(a+1)} =[/tex3]
[tex3]\frac{sen(a+1)cos(a) - sen(a)cos(a+1)}{sen(a)sen(a+1)} =cot(a) - cot(a+1)[/tex3]
Portanto;
[tex3]\frac{1}{sen(45)sen(46)}+\frac{1}{sen(47)sen(48)}+...+\frac{1}{sen(133)sen(134)}=\frac{1}{sen(n)}[/tex3]
[tex3]cot(45)-cot(46)+cot(47)-cot(48)+...+cot(133)-cot(134)=\frac{sen(1)}{sen(n)}[/tex3]
Usando que; [tex3]cot(\pi-x)= -cot(x)[/tex3]
[tex3]cot(45)-cot(46)+cot(47)-cot(48)+...+cot(133)-cot(134)=\frac{sen(1)}{sen(n)}[/tex3]
[tex3]cot(45)-cot(46)+cot(47)-cot(48)+...-cot(47)+cot(46)=\frac{sen(1)}{sen(n)}[/tex3]
[tex3]cot(45) = \frac{sen(1)}{sen(n)}[/tex3]
[tex3]1 = \frac{sen(1)}{sen(n)}[/tex3]
[tex3]n = 1^{o}[/tex3]
Usando a mesma ideia;
[tex3]\frac{1}{sen(1)sen(2)}+\frac{1}{sen(2)sen(3)}+...+\frac{1}{sen(89)sen(90)}=\frac{cos(1)}{sen^2(1)}[/tex3]
[tex3]cot(1)-cot(2)+cot(2)-cot(3)+...+cot(89)-cot(90)=\frac{cos(1)}{sen(1)}[/tex3]
[tex3]cot(1)-cot(90)=\frac{cos(1)}{sen(1)}[/tex3]
[tex3]cot(1)=\frac{cos(1)}{sen(1)}[/tex3]