Ensino MédioProduto de Senos Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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undefinied3
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Abr 2017 07 21:12

Produto de Senos

Mensagem não lida por undefinied3 »

Encontre o menor inteiro positivo n tal que: (valores todos em graus, inclusive n)

[tex3]\frac{1}{sen(45)sen(46)}+\frac{1}{sen(47)sen(48)}+...+\frac{1}{sen(133)sen(134)}=\frac{1}{sen(n)}[/tex3]

Prove, portanto, que:

[tex3]\frac{1}{sen(1)sen(2)}+\frac{1}{sen(2)sen(3)}+...+\frac{1}{sen(89)sen(90)}=\frac{cos(1)}{sen^2(1)}[/tex3]

Última edição: undefinied3 (Sex 07 Abr, 2017 21:12). Total de 1 vez.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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Ittalo25
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Abr 2017 07 23:43

Re: Produto de Senos

Mensagem não lida por Ittalo25 »

O padrão nesse caso tá fácil de encontrar, a diferença dos angulos dos denominadores é sempre 1.

Perceba que;

[tex3]\frac{sen(1)}{sen(a)sen(a+1)}=\frac{sen(a+1-a)}{sen(a)sen(a+1)} = \frac{sen(a+1)cos(a) - sen(a)cos(a+1)}{sen(a)sen(a+1)} =[/tex3]

[tex3]\frac{sen(a+1)cos(a) - sen(a)cos(a+1)}{sen(a)sen(a+1)} =cot(a) - cot(a+1)[/tex3]

Portanto;

[tex3]\frac{1}{sen(45)sen(46)}+\frac{1}{sen(47)sen(48)}+...+\frac{1}{sen(133)sen(134)}=\frac{1}{sen(n)}[/tex3]

[tex3]cot(45)-cot(46)+cot(47)-cot(48)+...+cot(133)-cot(134)=\frac{sen(1)}{sen(n)}[/tex3]

Usando que; [tex3]cot(\pi-x)= -cot(x)[/tex3]

[tex3]cot(45)-cot(46)+cot(47)-cot(48)+...+cot(133)-cot(134)=\frac{sen(1)}{sen(n)}[/tex3]

[tex3]cot(45)-cot(46)+cot(47)-cot(48)+...-cot(47)+cot(46)=\frac{sen(1)}{sen(n)}[/tex3]

[tex3]cot(45) = \frac{sen(1)}{sen(n)}[/tex3]

[tex3]1 = \frac{sen(1)}{sen(n)}[/tex3]

[tex3]n = 1^{o}[/tex3]

Usando a mesma ideia;

[tex3]\frac{1}{sen(1)sen(2)}+\frac{1}{sen(2)sen(3)}+...+\frac{1}{sen(89)sen(90)}=\frac{cos(1)}{sen^2(1)}[/tex3]

[tex3]cot(1)-cot(2)+cot(2)-cot(3)+...+cot(89)-cot(90)=\frac{cos(1)}{sen(1)}[/tex3]

[tex3]cot(1)-cot(90)=\frac{cos(1)}{sen(1)}[/tex3]

[tex3]cot(1)=\frac{cos(1)}{sen(1)}[/tex3]

Última edição: Ittalo25 (Sex 07 Abr, 2017 23:43). Total de 2 vezes.


Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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