No triângulo ABC de lados a,b e c e semi perímetro p. qual a distância do vértice A ao incentro do triângulo?
a) raizde(p-a)bc/p
b) raizde(p-b)ac/p
c) raizde(p-c)ab/p
d) raizdeabc/p
d)raizdeabc/2p
Ensino Médio ⇒ Cálculo da Distância do Incentro ao Vértice do Triângulo Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Abr 2017
04
13:34
Re: Cálculo da Distância do Incentro ao Vértice do Triângulo
Petras,
Estou aproveitando um curto espaço de tempo que tenho agora.
Não tenho como desenhar, tampouco cheguei na solução, mas acho que dá pra aproveitar algo do que desenvolvi.
Se ninguém conseguir resolver, tento novamente mais tarde.
-------------------------------
Trace as alturas relativas aos lados b e c, intersectando-os em B' e C', respectivamente, passando pelo incentro [tex3]I[/tex3] .
[tex3]x[/tex3] é a medida dos segmentos [tex3]AB'[/tex3] e [tex3]AC'[/tex3] .
[tex3]B'C=m[/tex3]
[tex3]C'B=n[/tex3]
[tex3]\begin{cases}b=x+m\\c=x+n\end{cases}\rightarrow b+c=2x+m+n[/tex3]
Mas repare que [tex3]m+n=a[/tex3] . Logo,
[tex3]b+c=2x+a\rightarrow x=\frac{b+c-a}{2}[/tex3]
-------------------------------
Além disso, temos que
[tex3]S=p\cdot r[/tex3] , onde
[tex3]S[/tex3] é área do triângulo.
[tex3]p[/tex3] é o semiperímetro.
[tex3]r[/tex3] é o raio da circunferência inscrita.
Daí,
[tex3]r=\frac{S}{p}=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}[/tex3]
-------------------------------
Por Pitágoras,
[tex3]AI^2=r^2+x^2[/tex3]
Realizando as devidas substituições,
[tex3]AI^2=\left(\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}\right)^2+\left(\frac{b+c-a}{2}\right)^2[/tex3]
[tex3]AI=\sqrt{\frac{4(p-a)(p-b)(p-c)+p(b+c-a)^2}{4p}}[/tex3]
Estou aproveitando um curto espaço de tempo que tenho agora.
Não tenho como desenhar, tampouco cheguei na solução, mas acho que dá pra aproveitar algo do que desenvolvi.
Se ninguém conseguir resolver, tento novamente mais tarde.
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Trace as alturas relativas aos lados b e c, intersectando-os em B' e C', respectivamente, passando pelo incentro [tex3]I[/tex3] .
[tex3]x[/tex3] é a medida dos segmentos [tex3]AB'[/tex3] e [tex3]AC'[/tex3] .
[tex3]B'C=m[/tex3]
[tex3]C'B=n[/tex3]
[tex3]\begin{cases}b=x+m\\c=x+n\end{cases}\rightarrow b+c=2x+m+n[/tex3]
Mas repare que [tex3]m+n=a[/tex3] . Logo,
[tex3]b+c=2x+a\rightarrow x=\frac{b+c-a}{2}[/tex3]
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Além disso, temos que
[tex3]S=p\cdot r[/tex3] , onde
[tex3]S[/tex3] é área do triângulo.
[tex3]p[/tex3] é o semiperímetro.
[tex3]r[/tex3] é o raio da circunferência inscrita.
Daí,
[tex3]r=\frac{S}{p}=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}[/tex3]
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Por Pitágoras,
[tex3]AI^2=r^2+x^2[/tex3]
Realizando as devidas substituições,
[tex3]AI^2=\left(\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}\right)^2+\left(\frac{b+c-a}{2}\right)^2[/tex3]
[tex3]AI=\sqrt{\frac{4(p-a)(p-b)(p-c)+p(b+c-a)^2}{4p}}[/tex3]
Última edição: csmarcelo (Ter 04 Abr, 2017 13:34). Total de 1 vez.
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undefinied3 
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- Última visita: 30-09-22
Abr 2017
04
19:56
Re: Cálculo da Distância do Incentro ao Vértice do Triângulo
Considere a bissetriz saindo de A que divide o lado a nos segmentos m e a-m. Seja P esse ponto de interseção com BC. Pelo teorema da bissetriz:
[tex3]\frac{b}{m}=\frac{c}{a-m} \rightarrow cm=ab-bm \rightarrow m=\frac{ab}{b+c}[/tex3]
Considere a bissetriz saindo de C, ela irá cortar AP em Q. Aplicando teorema da bissetriz novamente;
[tex3]\frac{b}{n}=\frac{m}{p} \rightarrow \frac{b}{m}=\frac{n}{p} \rightarrow \frac{b}{b+m}=\frac{n}{x}[/tex3]
[tex3]\therefore n=\frac{bx}{b+m}=x.\frac{b}{b+\frac{ab}{b+c}}=x.\frac{b^2+bc}{b^2+bc+ab}=x.\frac{b+c}{a+b+c}[/tex3]
Ok, vamos usar Stewart pra calcular o tamanho da bissetriz, ou seja, n+p.
[tex3]b^2(a-m)+c^2m=a(x^2+m(a-m))[/tex3]
[tex3]\frac{b^2(a-m)+c^2m}{a}-am+m^2=x^2[/tex3]
[tex3]b^2-\frac{b^2m}{a}+\frac{c^2m}{a}-am+m^2=x^2[/tex3]
[tex3]b^2-\frac{b^3}{b+c}+\frac{bc^2}{b+c}-\frac{a^2b}{b+c}+\frac{a^2b^2}{(b+c)^2}=x^2[/tex3]
Desenvolvendo e reduzindo os termos semelhantes, obtemos:
[tex3]x^2=\frac{bc(b+c-a)(a+b+c)}{(b+c)^2}[/tex3]
Portanto:
[tex3]n=\frac{\sqrt{bc(b+c-a)(a+b+c)}}{b+c}.\frac{b+c}{a+b+c}=\sqrt{\frac{(bc)(b+c-a)}{a+b+c}}=\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}}[/tex3]
Deve ter outro jeito mais fácil, mas é o que saiu.
[tex3]\frac{b}{m}=\frac{c}{a-m} \rightarrow cm=ab-bm \rightarrow m=\frac{ab}{b+c}[/tex3]
Considere a bissetriz saindo de C, ela irá cortar AP em Q. Aplicando teorema da bissetriz novamente;
[tex3]\frac{b}{n}=\frac{m}{p} \rightarrow \frac{b}{m}=\frac{n}{p} \rightarrow \frac{b}{b+m}=\frac{n}{x}[/tex3]
[tex3]\therefore n=\frac{bx}{b+m}=x.\frac{b}{b+\frac{ab}{b+c}}=x.\frac{b^2+bc}{b^2+bc+ab}=x.\frac{b+c}{a+b+c}[/tex3]
Ok, vamos usar Stewart pra calcular o tamanho da bissetriz, ou seja, n+p.
[tex3]b^2(a-m)+c^2m=a(x^2+m(a-m))[/tex3]
[tex3]\frac{b^2(a-m)+c^2m}{a}-am+m^2=x^2[/tex3]
[tex3]b^2-\frac{b^2m}{a}+\frac{c^2m}{a}-am+m^2=x^2[/tex3]
[tex3]b^2-\frac{b^3}{b+c}+\frac{bc^2}{b+c}-\frac{a^2b}{b+c}+\frac{a^2b^2}{(b+c)^2}=x^2[/tex3]
Desenvolvendo e reduzindo os termos semelhantes, obtemos:
[tex3]x^2=\frac{bc(b+c-a)(a+b+c)}{(b+c)^2}[/tex3]
Portanto:
[tex3]n=\frac{\sqrt{bc(b+c-a)(a+b+c)}}{b+c}.\frac{b+c}{a+b+c}=\sqrt{\frac{(bc)(b+c-a)}{a+b+c}}=\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}}[/tex3]
Deve ter outro jeito mais fácil, mas é o que saiu.
- Anexos
-
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Última edição: undefinied3 (Ter 04 Abr, 2017 19:56). Total de 2 vezes.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
Abr 2017
04
20:06
Re: Cálculo da Distância do Incentro ao Vértice do Triângulo
Mas é uma bela resolução. Grato
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