Ensino Médio ⇒ Trigonometria

[Andre13000]

Sejam [tex3]x,y,z[/tex3]

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[tex3]x,y,z[/tex3]

números reais de tal forma que [tex3]x\geq y\geq z\geq \frac{\pi}{12}[/tex3]

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[tex3]x\geq y\geq z\geq \frac{\pi}{12}[/tex3]

e [tex3]x+y+z=\frac{\pi}{2}[/tex3]

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[tex3]x+y+z=\frac{\pi}{2}[/tex3]

.

Ache os valores máximo e mínimo da função [tex3]f(x,y,z)=\cos x \sin y \cos z[/tex3]

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[tex3]f(x,y,z)=\cos x \sin y \cos z[/tex3]

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[Tassandro]

Andre13000,
Fazendo
[tex3]A=\cos x\sin y\cos z=\frac{\cos z}{2}\bigg[2\cos x \sin y\bigg] = \frac{\cos z}{2}\bigg[\sin(x+y)-\sin(x-y)\bigg]\leq \frac{\cos z}{2}\cdot \sin (x+y)
[/tex3]

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[tex3]A=\cos x\sin y\cos z=\frac{\cos z}{2}\bigg[2\cos x \sin y\bigg] = \frac{\cos z}{2}\bigg[\sin(x+y)-\sin(x-y)\bigg]\leq \frac{\cos z}{2}\cdot \sin (x+y)
[/tex3]

Assim,
[tex3]A\leq \frac{\cos z \cdot \cos z}{2}=\frac{1}{4}(1+\cos 2z)\leq \frac{1}{4}\bigg[1+\cos 2\cdot \frac{\pi}{12}\bigg] = \frac{2+\sqrt{3}}{8}
[/tex3]

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[tex3]A\leq \frac{\cos z \cdot \cos z}{2}=\frac{1}{4}(1+\cos 2z)\leq \frac{1}{4}\bigg[1+\cos 2\cdot \frac{\pi}{12}\bigg] = \frac{2+\sqrt{3}}{8}
[/tex3]

Logo, o máximo ocorre quando [tex3]A=\frac14\bigg[1+\cos2\cdot\frac{π}{12}\bigg][/tex3]

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[tex3]A=\frac14\bigg[1+\cos2\cdot\frac{π}{12}\bigg][/tex3]

ou seja, [tex3]x=y=\frac{5π}{24}[/tex3]

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[tex3]x=y=\frac{5π}{24}[/tex3]

e [tex3]z=\frac{π}{12}[/tex3]

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[tex3]z=\frac{π}{12}[/tex3]

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Para achar o mínimo, faça
[tex3]f(x)=\cos x\cos z\cos(x+z)=\frac12[\cos(x+z)+\cos(x-z)]\cos(x+z)[/tex3]

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[tex3]f(x)=\cos x\cos z\cos(x+z)=\frac12[\cos(x+z)+\cos(x-z)]\cos(x+z)[/tex3]

Assim, temos que fazer [tex3]x+z=\frac{5π}{12}[/tex3]

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[tex3]x+z=\frac{5π}{12}[/tex3]

, assim, [tex3]x=\frac{π}{3},y=z=\frac{π}{12}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{π}{3},y=z=\frac{π}{12}[/tex3]

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