Ensino Médio ⇒ Expansão de produtório Tópico resolvido

[Andre13000]

Galera, como faço para expandir este produtório de uma maneira eficiente?

[tex3]\prod_{n=1}^{45}1+\tg\left(\frac{n\pi}{180}\right)[/tex3]

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[tex3]\prod_{n=1}^{45}1+\tg\left(\frac{n\pi}{180}\right)[/tex3]

Perceba que n seria na verdade o valor em graus, que é convertido em radianos quando é computado. Talvez isso ajude, mas não tenho certeza.

Lembrando que a definição de produtório é:[tex3]\prod_{i=0}^{n}a_i=a_0\cdot a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 ~...a_n[/tex3]

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[tex3]\prod_{i=0}^{n}a_i=a_0\cdot a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 ~...a_n[/tex3]

Edit: mudando de n=0 para n=1

[Ittalo25]

Pra mim não fez muito sentido

[tex3]\frac{\pi }{180} = 1^{o}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi }{180} = 1^{o}[/tex3]

[Andre13000]

[tex3]\frac{\alpha}{\theta}=\frac{2\pi}{360}\\
\alpha=\frac{\theta\pi}{180}\\
\alpha=\frac{n\pi}{180}[/tex3]

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[tex3]\frac{\alpha}{\theta}=\frac{2\pi}{360}\\
\alpha=\frac{\theta\pi}{180}\\
\alpha=\frac{n\pi}{180}[/tex3]

Onde teta é em graus, alpha em radianos. Esse é o significado de n. Imagino que seja alguma pista para a expansão.

[undefinied3]

Essa é famosa.

Vamos ignorar o fato de estar em radianos e trabalhar em graus mesmo.

A expressão é: [tex3](1+tg(1))(1+tg(2)...(1+tg(44)(1+tg(45))[/tex3]

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[tex3](1+tg(1))(1+tg(2)...(1+tg(44)(1+tg(45))[/tex3]

Como sempre, analisaremos os simétricos (bem, nem sempre, às vezes precisa de algo a mais).

[tex3](1+tg(x))(1+tg(45-x))=1+tg(x)tg(45-x)+tg(45-x)+tg(x)[/tex3]

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[tex3](1+tg(x))(1+tg(45-x))=1+tg(x)tg(45-x)+tg(45-x)+tg(x)[/tex3]

Esse produto de tangentes nos remete a tangete da soma:
[tex3]tg(x+45-x)=\frac{tg(x)+tg(45-x)}{1-tg(x)tg(45-x)} \rightarrow 1-tg(x)tg(45-x)=tg(x)+tg(45-x)[/tex3]

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[tex3]tg(x+45-x)=\frac{tg(x)+tg(45-x)}{1-tg(x)tg(45-x)} \rightarrow 1-tg(x)tg(45-x)=tg(x)+tg(45-x)[/tex3]

Substituindo na expressão:
[tex3]1+1-tg(x)-tg(45-x)+tg(x)+tg(45-x)=2[/tex3]

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[tex3]1+1-tg(x)-tg(45-x)+tg(x)+tg(45-x)=2[/tex3]

Ora ora, que sorte

Assim, já lidamos com os termos de tg(x) até tg(44). Resta apenas 1+tg(45), mas esse é facilmente calculável: dá 2.
Assim, temos [tex3]2^{22}.2=2^{23}[/tex3]

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[tex3]2^{22}.2=2^{23}[/tex3]

Outra maneira é por telescópica:

[tex3]1+tg(x)=\frac{cos(x)+sen(x)}{cos(x)}=\frac{\sqrt{2}cos(45-x)}{cos(x)}[/tex3]

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[tex3]1+tg(x)=\frac{cos(x)+sen(x)}{cos(x)}=\frac{\sqrt{2}cos(45-x)}{cos(x)}[/tex3]

Aí o numerador dos primeiros termos corta com o denominador dos últimos termos, e vice versa. Sobra [tex3]\sqrt{2}^{44}.2=2^{23}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}^{44}.2=2^{23}[/tex3]

[Ittalo25]

Isso que eu quis dizer, tipo;

Não tinha necessidade de o [tex3]\frac{\pi}{180}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}{180}[/tex3]

estar ali

[Andre13000]

Undefinied é o deus da trigonometria, onde você aprendeu esses negócio? Qual o livro? kkkkkkkkkkk

Tentei trabalhar com a soma de tangentes, mas não pensei multiplicar os termos extremos.

[undefinied3]

Pode apostar que tudo que eu consigo responder bem de imediato é porque ou eu já vi antes algo muito parecido ou exatamente igual.

Esse tipo de coisa é só tendo visto pra conseguir. Até dá pra fazer na raça, mas dá uma boa empacada. O jeito é fazer bastante exercício e ter a mente bastante aberta pra várias maneiras de resolver um mesmo exercício, porque às vezes um outro só dá pra resolver por uma dessas maneiras. Livro de matemática eu nunca usei nenhum... Meu professor que me ensinou o necessário pro ITA e eu estudei pras olimpíadas usando principalmente esse site, que tem MUITO exercício bacana resolvido na parte de olimpíadas, e usando o POTI. É meio triste porque terminei o ensino médio ano passado e agora não dá mais pra brincar com as olimpíadas, pelo menos não até eu entrar na faculdade e tentar a OBM universitária, mas matemática nesse nível é muito legal pra simplesmente parar de estudar, mesmo sem ter uma finalidade pra ela.