Ensino MédioExpansão de produtório Tópico resolvido

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Abr 2017 02 17:15

Expansão de produtório

Mensagem não lida por Andre13000 »

Galera, como faço para expandir este produtório de uma maneira eficiente?

[tex3]\prod_{n=1}^{45}1+\tg\left(\frac{n\pi}{180}\right)[/tex3]

Perceba que n seria na verdade o valor em graus, que é convertido em radianos quando é computado. Talvez isso ajude, mas não tenho certeza.

Lembrando que a definição de produtório é:[tex3]\prod_{i=0}^{n}a_i=a_0\cdot a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 ~...a_n[/tex3]

Edit: mudando de n=0 para n=1

Última edição: Andre13000 (Dom 02 Abr, 2017 17:15). Total de 2 vezes.


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Re: Expansão de produtório

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Pra mim não fez muito sentido

[tex3]\frac{\pi }{180} = 1^{o}[/tex3]

:?::?::?::?::?:

Última edição: Ittalo25 (Dom 02 Abr, 2017 17:44). Total de 1 vez.


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Re: Expansão de produtório

Mensagem não lida por Andre13000 »

[tex3]\frac{\alpha}{\theta}=\frac{2\pi}{360}\\
\alpha=\frac{\theta\pi}{180}\\
\alpha=\frac{n\pi}{180}[/tex3]

Onde teta é em graus, alpha em radianos. Esse é o significado de n. Imagino que seja alguma pista para a expansão.
Última edição: Andre13000 (Dom 02 Abr, 2017 18:10). Total de 1 vez.


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Re: Expansão de produtório

Mensagem não lida por undefinied3 »

Essa é famosa.

Vamos ignorar o fato de estar em radianos e trabalhar em graus mesmo.

A expressão é: [tex3](1+tg(1))(1+tg(2)...(1+tg(44)(1+tg(45))[/tex3]

Como sempre, analisaremos os simétricos (bem, nem sempre, às vezes precisa de algo a mais).

[tex3](1+tg(x))(1+tg(45-x))=1+tg(x)tg(45-x)+tg(45-x)+tg(x)[/tex3]
Esse produto de tangentes nos remete a tangete da soma:
[tex3]tg(x+45-x)=\frac{tg(x)+tg(45-x)}{1-tg(x)tg(45-x)} \rightarrow 1-tg(x)tg(45-x)=tg(x)+tg(45-x)[/tex3]
Substituindo na expressão:
[tex3]1+1-tg(x)-tg(45-x)+tg(x)+tg(45-x)=2[/tex3]
Ora ora, que sorte :)

Assim, já lidamos com os termos de tg(x) até tg(44). Resta apenas 1+tg(45), mas esse é facilmente calculável: dá 2.
Assim, temos [tex3]2^{22}.2=2^{23}[/tex3]

Outra maneira é por telescópica:

[tex3]1+tg(x)=\frac{cos(x)+sen(x)}{cos(x)}=\frac{\sqrt{2}cos(45-x)}{cos(x)}[/tex3]
Aí o numerador dos primeiros termos corta com o denominador dos últimos termos, e vice versa. Sobra [tex3]\sqrt{2}^{44}.2=2^{23}[/tex3]
Última edição: undefinied3 (Dom 02 Abr, 2017 18:21). Total de 1 vez.


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Abr 2017 02 18:27

Re: Expansão de produtório

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Isso que eu quis dizer, tipo;

Não tinha necessidade de o [tex3]\frac{\pi}{180}[/tex3] estar ali :lol::lol:
Última edição: Ittalo25 (Dom 02 Abr, 2017 18:27). Total de 1 vez.


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Re: Expansão de produtório

Mensagem não lida por Andre13000 »

Undefinied é o deus da trigonometria, onde você aprendeu esses negócio? Qual o livro? kkkkkkkkkkk

Tentei trabalhar com a soma de tangentes, mas não pensei multiplicar os termos extremos.
Última edição: Andre13000 (Dom 02 Abr, 2017 19:16). Total de 1 vez.


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Abr 2017 02 19:43

Re: Expansão de produtório

Mensagem não lida por undefinied3 »

Pode apostar que tudo que eu consigo responder bem de imediato é porque ou eu já vi antes algo muito parecido ou exatamente igual.

Esse tipo de coisa é só tendo visto pra conseguir. Até dá pra fazer na raça, mas dá uma boa empacada. O jeito é fazer bastante exercício e ter a mente bastante aberta pra várias maneiras de resolver um mesmo exercício, porque às vezes um outro só dá pra resolver por uma dessas maneiras. Livro de matemática eu nunca usei nenhum... Meu professor que me ensinou o necessário pro ITA e eu estudei pras olimpíadas usando principalmente esse site, que tem MUITO exercício bacana resolvido na parte de olimpíadas, e usando o POTI. É meio triste porque terminei o ensino médio ano passado e agora não dá mais pra brincar com as olimpíadas, pelo menos não até eu entrar na faculdade e tentar a OBM universitária, mas matemática nesse nível é muito legal pra simplesmente parar de estudar, mesmo sem ter uma finalidade pra ela.



Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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