Ensino Médio ⇒ Contagem Numérica Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:17906)]

Qual a maior potencia de 10 que divide 1.2.3.4. ... .1000?

a) [tex3]10^{1000}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10^{1000}[/tex3]

b) [tex3]10^{500}[/tex3]

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[tex3]10^{500}[/tex3]

c) [tex3]10^{498}[/tex3]

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[tex3]10^{498}[/tex3]

d) [tex3]10^{250}[/tex3]

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[tex3]10^{250}[/tex3]

e) [tex3]10^{249}[/tex3]

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[tex3]10^{249}[/tex3]

[rodBR]

Olá Guibernardo.

"Qual a maior potencia de 10 que divide 1.2.3.4. ... .1000?"

Veja que [tex3]1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot .. .\cdot 1000=1000![/tex3]

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[tex3]1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot .. .\cdot 1000=1000![/tex3]

.
Queremos encontrar o maior inteiro positivo [tex3]t[/tex3]

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[tex3]t[/tex3]

tal que [tex3]10^{t}\ |\ 1000![/tex3]

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[tex3]10^{t}\ |\ 1000![/tex3]

.
Temos que [tex3]10=2\cdot 5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10=2\cdot 5[/tex3]

, então [tex3]10^{t}\ |\ 1000![/tex3]

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[tex3]10^{t}\ |\ 1000![/tex3]

[tex3]<=>2^{t}\ |\ 1000!\ e\ 5^{t}\ |\ 1000![/tex3]

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[tex3]<=>2^{t}\ |\ 1000!\ e\ 5^{t}\ |\ 1000![/tex3]

. Note que [tex3]5>2\rightarrow[/tex3]

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[tex3]5>2\rightarrow[/tex3]

aparece mais fatores 2 do que 5 na decomposição de 1000!, portanto a maior potência de 10 que divide 1000! é a maior potência de 5 que divide 1000! .
Então (resumindo) temos que encontrar todos os múltiplos de 5 menores que 1000, para então saber qual a maior potência de 10 que divide 1000!

Múltiplos de 5 menores que 1000:

Existem [tex3]\frac{1000}{5}=200\rightarrow \ múltiplos\ de\ 5\ entre \ 1\ e\ 1000[/tex3]

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[tex3]\frac{1000}{5}=200\rightarrow \ múltiplos\ de\ 5\ entre \ 1\ e\ 1000[/tex3]

Existem [tex3]\frac{1000}{5^{2}}=40\rightarrow múltiplos\ de\ 25\ entre\ 1\ e\ 1000[/tex3]

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[tex3]\frac{1000}{5^{2}}=40\rightarrow múltiplos\ de\ 25\ entre\ 1\ e\ 1000[/tex3]

Existem [tex3]\frac{1000}{5^{3}}=8\rightarrow múltiplos\ de\ 125\ entre\ 1\ e\ 1000[/tex3]

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[tex3]\frac{1000}{5^{3}}=8\rightarrow múltiplos\ de\ 125\ entre\ 1\ e\ 1000[/tex3]

Existe [tex3]\frac{1000}{625}=1,6\rightarrow um\ múltiplo\ de\ 625\ entre\ 1\ e\ 1000,\ que\ é\ o\ próprio\ 625.[/tex3]

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[tex3]\frac{1000}{625}=1,6\rightarrow um\ múltiplo\ de\ 625\ entre\ 1\ e\ 1000,\ que\ é\ o\ próprio\ 625.[/tex3]

Disso, temos que o número 5 a aparece na decomposição de 1000! no total de: [tex3]200+40+8+1=249[/tex3]

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[tex3]200+40+8+1=249[/tex3]

. Ou seja a maior potência de 10 que divide 1000! é [tex3]10^{249}[/tex3]

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[tex3]10^{249}[/tex3]

.

Ps: seu problema tbm seria análogo a determinar quantos zeros tem o número 1000!
Para vc saber um pouco mais verifique http://www.campusgate.co.in/2011/10/fin ... ivide.html e as págs. 34 a 36 http://www.rc.unesp.br/igce/pos/profmat ... edades.pdf [tex3]\rightarrow[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow[/tex3]

(ver TEOREMA 4.2 )

Att>> rodBR.

[Auto Excluído (ID:17906)]

Muito Obrigado rodBR!!!!!!!