Ensino Médio ⇒ Números complexos Tópico resolvido

[Ittalo25]

Mostre que todo complexo de módulo unitário e com parte real diferente de 1 pode ser escrito na forma abaixo, sendo k um número real arbitrário

[tex3]\frac{k+i}{k-i}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{k+i}{k-i}[/tex3]

[undefinied3]

[tex3]\frac{k+i}{k-i}=\frac{k^2+2ki-1}{k^2+1}=\frac{k^2-1}{k^2+1}+\frac{2k}{k^2+1}i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{k+i}{k-i}=\frac{k^2+2ki-1}{k^2+1}=\frac{k^2-1}{k^2+1}+\frac{2k}{k^2+1}i[/tex3]

Resta garantir que imagem da "função" parte real, assim como a imagem da "função" parte imaginária, suportam os complexos de módulo unitário. Isso implica que ambas partes são valores entre -1 e 1.

[tex3]y=\frac{k^2-1}{k^2+1} \rightarrow yk^2+y-k^2+1=0 \rightarrow (y-1)k^2+1+y=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=\frac{k^2-1}{k^2+1} \rightarrow yk^2+y-k^2+1=0 \rightarrow (y-1)k^2+1+y=0[/tex3]

[tex3]\Delta \geq 0 \rightarrow -4(y-1)(1+y) \geq 0 \rightarrow (y-1)(y+1) \leq 0 \rightarrow -1 \leq y < 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta \geq 0 \rightarrow -4(y-1)(1+y) \geq 0 \rightarrow (y-1)(y+1) \leq 0 \rightarrow -1 \leq y < 1[/tex3]

Ok

[tex3]y=\frac{2k}{k^2+1} \rightarrow yk^2+y-2k=0[/tex3]

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[tex3]y=\frac{2k}{k^2+1} \rightarrow yk^2+y-2k=0[/tex3]

[tex3]\Delta \geq 0 \rightarrow 4-4y^2 \geq 0 \rightarrow y^2 \leq 1 \rightarrow -1 \leq y \leq 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta \geq 0 \rightarrow 4-4y^2 \geq 0 \rightarrow y^2 \leq 1 \rightarrow -1 \leq y \leq 1[/tex3]

Então de fato, todos complexos de módulo unitário podem ser escritos nessa notação.

Agora, veja que então podemos escrever a parte real como [tex3]sen(\alpha)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen(\alpha)[/tex3]

e a parte imaginária como [tex3]cos(\beta)[/tex3]

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[tex3]cos(\beta)[/tex3]

. Resta provar que [tex3]\alpha=\beta[/tex3]

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[tex3]\alpha=\beta[/tex3]

Ora, se [tex3]sen(\alpha)=\frac{k^2-1}{k^2+1}[/tex3]

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[tex3]sen(\alpha)=\frac{k^2-1}{k^2+1}[/tex3]

, temos:
[tex3]cos^2(\alpha)=1-sen^2(\alpha)=1-\frac{k^4-2k^2+1}{k^4+2k^2+1}=\frac{k^4+2k^2+1-k^2+2k^2-1}{(k^2+1)^2}=\frac{(2k)^2}{(k^2+1)^2}[/tex3]

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[tex3]cos^2(\alpha)=1-sen^2(\alpha)=1-\frac{k^4-2k^2+1}{k^4+2k^2+1}=\frac{k^4+2k^2+1-k^2+2k^2-1}{(k^2+1)^2}=\frac{(2k)^2}{(k^2+1)^2}[/tex3]

[tex3]\therefore cos(\alpha)=\pm \frac{2k}{k^2+1}[/tex3]

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[tex3]\therefore cos(\alpha)=\pm \frac{2k}{k^2+1}[/tex3]

, ou nesse caso, [tex3]cos(\alpha)=\frac{2k}{k^2+1}=cos(\beta)[/tex3]

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[tex3]cos(\alpha)=\frac{2k}{k^2+1}=cos(\beta)[/tex3]

Então de fato, [tex3]\alpha=\beta[/tex3]

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[tex3]\alpha=\beta[/tex3]

, segue que

Ops, troquei o seno com coseno das partes imaginárias. Não tem problema, invertendo as funções trigonométricas, os passos são análogos.

[tex3]\frac{k+i}{k-i}=cos(\alpha)+i.sen(\alpha)[/tex3]

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[tex3]\frac{k+i}{k-i}=cos(\alpha)+i.sen(\alpha)[/tex3]

[Andre13000]

Muito interessante essa resolução undefinied. Só uma coisa que eu faria diferente é na hora de definir o "desenho" que tal número complexo desenha no plano cartesiano.

Eu estabeleceria uma função parametramizada em [tex3]k[/tex3]

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[tex3]k[/tex3]

:

[tex3]\begin{cases}
x=\frac{k^2-1}{k^2+1}\\
y=\frac{2k}{k^2+1}
\end{cases}\\
x^2+y^2=\frac{(k^2-1)^2+(2k)^2}{(k^2+1)^2}\\
x^2+y^2=\frac{k^4-2k^2+1+4k^2}{k^4+2k^2+1}=1\\[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
x=\frac{k^2-1}{k^2+1}\\
y=\frac{2k}{k^2+1}
\end{cases}\\
x^2+y^2=\frac{(k^2-1)^2+(2k)^2}{(k^2+1)^2}\\
x^2+y^2=\frac{k^4-2k^2+1+4k^2}{k^4+2k^2+1}=1\\[/tex3]

Então seria uma circunferência de raio um.

[Killin]

Por que ele impõe que a parte real deve ser diferente de 1?

[undefinied3]

Pois ele seria um número real apenas.

[Killin]

Pois ele seria um número real apenas.

não consegui vizualisar isso.

[undefinied3]

Se ele tem módulo 1 e parte real 1 ou -1, então só pode ser um número real. Mas eu cometi um erro, não é exatamente devido a ser um real que dá errado, porque com -1 funcionaria. A razão tá em observar a expressão para o seno que eu obtive.
[tex3]\frac{k^2-1}{k^2+1}=1[/tex3]

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[tex3]\frac{k^2-1}{k^2+1}=1[/tex3]

não tem solução.

[Andre13000]

Outra forma de interpretar o problema é o seguinte: faça [tex3]k=\cot \theta~; ~0<\theta<\pi[/tex3]

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[tex3]k=\cot \theta~; ~0<\theta<\pi[/tex3]

. Como seno nunca é zero, é natural que:

[tex3]\frac{k+i}{k-i}=\cis 2\theta[/tex3]

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[tex3]\frac{k+i}{k-i}=\cis 2\theta[/tex3]

Como [tex3]0<2\theta<2\pi[/tex3]

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[tex3]0<2\theta<2\pi[/tex3]

, todos os números complexos possíveis de módulo 1 são atingidos, menos quando [tex3]\theta=0[/tex3]

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[tex3]\theta=0[/tex3]

, onde o número teria, de fato, parte real igual a 1.

[Killin]

Consegui provar de uma outra forma, que parece ser a mais simples e acredito ser a que todos buscavam kkkk:

[tex3]z=\frac{a+i}{a-i}=\frac{a+i}{a-i} \cdot\frac{i}{i}=\frac{ai-1}{ai+1} \cdot \frac{ai-1}{ai-1}=\frac{-a^2-2ai+1}{-a^2-1}= \\ = \frac{a^2+2ai-1}{a^2+1}=\frac{a^2-1}{a^2+1}+i\left(\frac{2a}{a^2+1}\right)\Rightarrow |z|=\sqrt{\frac{(a^2-1)^2+(2a)^2}{(a^2+1)^2}}= \\ =\sqrt \frac{a^4-2a^2+1+4a^2}{(a^2+1)^2}= \sqrt{\frac{a^4+2a^2+1}{(a^2+1)^2}}=1[/tex3]

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[tex3]z=\frac{a+i}{a-i}=\frac{a+i}{a-i} \cdot\frac{i}{i}=\frac{ai-1}{ai+1} \cdot \frac{ai-1}{ai-1}=\frac{-a^2-2ai+1}{-a^2-1}= \\ = \frac{a^2+2ai-1}{a^2+1}=\frac{a^2-1}{a^2+1}+i\left(\frac{2a}{a^2+1}\right)\Rightarrow |z|=\sqrt{\frac{(a^2-1)^2+(2a)^2}{(a^2+1)^2}}= \\ =\sqrt \frac{a^4-2a^2+1+4a^2}{(a^2+1)^2}= \sqrt{\frac{a^4+2a^2+1}{(a^2+1)^2}}=1[/tex3]

[undefinied3]

Você provou que tem módulo 1, mas não provou que todo complexo com parte real diferente de 1 pode ser escrito dessa forma.