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Gu178 · Mensagem não lida por **Gu178** » Sáb 25 Mar, 2017 09:29

A função [tex3]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3] satisfaz a equação funcional [tex3]x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4[/tex3] . A expressão de [tex3]f(x)[/tex3] é:

Resposta

[tex3]1-x^2[/tex3]

Mensagem não lidapor **jedi** » Sáb 25 Mar, 2017 10:50 · Mensagem não lida por **jedi** » Sáb 25 Mar, 2017 10:50

se

[tex3]x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4[/tex3]

então

[tex3](1-x)^2f(1-x)+f(1-(1-x))=2(1-x)-(1-x)^4[/tex3]

[tex3](1-x)^2f(1-x)+f(x)=2(1-x)-(1-x)^4[/tex3]

multiplicando a equação original por (1-x)^2 e subtraindo a segunda

[tex3][x^2(1-x)^2-1]f(x)=(1-x)^2(2x-x^4)-2(1-x)+(1-x)^4[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{(1-x)^2(2x-x^4)-2(1-x)+(1-x)^4}{x^2(1-x)^2-1}[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{(1-x)[2x-x^4-2x^2+x^5-2-x^3+3x^2-3x+1]}{x^2(1-x)^2-1}[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{(1-x)(x^5-x^4-x^3+x^2-x-1)}{x^2(1-x)^2-1}[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{(1-x)(x^3+1)(x^2-x-1)}{x^2(1-x)^2-1}[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{(1-x)(1+x)(1-x+x^2)(x^2-x-1)}{x^2(1-x)^2-1}[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{(1-x)(1+x)(1-x+x^2)(x^2-x-1)}{[x(1-x)+1][x(1-x)-1]]}[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{(1-x)(1+x)(1-x+x^2)(x^2-x-1)}{[x^2-x-1][x^2-x+11]]}[/tex3]

[tex3]f(x)=(1-x)(1+x)=1-x^2[/tex3]

Jedi, acho que você errou algo, não é possível simplificar a equação final que você escreveu. Mas a resolução em si está certíssima, fiz e deu certo.

Mensagem não lidapor **jedi** » Sáb 25 Mar, 2017 11:37 · Mensagem não lida por **jedi** » Sáb 25 Mar, 2017 11:37

Corrigi a resposta, tinha feito uma multiplicação errado. Valeu

Ensino Médio ⇒ Equação funcional Tópico resolvido

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