Ensino Médio ⇒ Equação funcional Tópico resolvido

[Gu178]

A função [tex3]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3]

satisfaz a equação funcional [tex3]x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4[/tex3]

. A expressão de [tex3]f(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)[/tex3]

é:

Resposta

---

[tex3]1-x^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1-x^2[/tex3]

[jedi]

se

[tex3]x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4[/tex3]

então

[tex3](1-x)^2f(1-x)+f(1-(1-x))=2(1-x)-(1-x)^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1-x)^2f(1-x)+f(1-(1-x))=2(1-x)-(1-x)^4[/tex3]

[tex3](1-x)^2f(1-x)+f(x)=2(1-x)-(1-x)^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1-x)^2f(1-x)+f(x)=2(1-x)-(1-x)^4[/tex3]

multiplicando a equação original por (1-x)^2 e subtraindo a segunda

[tex3][x^2(1-x)^2-1]f(x)=(1-x)^2(2x-x^4)-2(1-x)+(1-x)^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][x^2(1-x)^2-1]f(x)=(1-x)^2(2x-x^4)-2(1-x)+(1-x)^4[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{(1-x)^2(2x-x^4)-2(1-x)+(1-x)^4}{x^2(1-x)^2-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\frac{(1-x)^2(2x-x^4)-2(1-x)+(1-x)^4}{x^2(1-x)^2-1}[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{(1-x)[2x-x^4-2x^2+x^5-2-x^3+3x^2-3x+1]}{x^2(1-x)^2-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\frac{(1-x)[2x-x^4-2x^2+x^5-2-x^3+3x^2-3x+1]}{x^2(1-x)^2-1}[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{(1-x)(x^5-x^4-x^3+x^2-x-1)}{x^2(1-x)^2-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\frac{(1-x)(x^5-x^4-x^3+x^2-x-1)}{x^2(1-x)^2-1}[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{(1-x)(x^3+1)(x^2-x-1)}{x^2(1-x)^2-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\frac{(1-x)(x^3+1)(x^2-x-1)}{x^2(1-x)^2-1}[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{(1-x)(1+x)(1-x+x^2)(x^2-x-1)}{x^2(1-x)^2-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\frac{(1-x)(1+x)(1-x+x^2)(x^2-x-1)}{x^2(1-x)^2-1}[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{(1-x)(1+x)(1-x+x^2)(x^2-x-1)}{[x(1-x)+1][x(1-x)-1]]}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\frac{(1-x)(1+x)(1-x+x^2)(x^2-x-1)}{[x(1-x)+1][x(1-x)-1]]}[/tex3]

[tex3]f(x)=\frac{(1-x)(1+x)(1-x+x^2)(x^2-x-1)}{[x^2-x-1][x^2-x+11]]}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\frac{(1-x)(1+x)(1-x+x^2)(x^2-x-1)}{[x^2-x-1][x^2-x+11]]}[/tex3]

[tex3]f(x)=(1-x)(1+x)=1-x^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=(1-x)(1+x)=1-x^2[/tex3]

[Andre13000]

Jedi, acho que você errou algo, não é possível simplificar a equação final que você escreveu. Mas a resolução em si está certíssima, fiz e deu certo.

[jedi]

Corrigi a resposta, tinha feito uma multiplicação errado. Valeu