Resposta
[tex3]\frac{1}{1-x}[/tex3]
Ensino Médio ⇒ (Farias Brito) Função Composta Tópico resolvido
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Gu178
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Mar 2017
21
00:13
(Farias Brito) Função Composta
Seja [tex3]f_{1}(x)=\frac{2x-1}{x+1}[/tex3]
, [tex3]f_{1}:\mathbb{R}[/tex3]
-{-1}[tex3]\rightarrow \mathbb{R}[/tex3]
-{2}, definamos [tex3]f_{n}(x)=f_{1}(f_{n-1}(x))[/tex3]
, n=2,3,4 ... Sabendo que pode ser mostrado que [tex3]f_{35}=f_{5}[/tex3]
, então [tex3]f_{28}(x)[/tex3]
é igual a:
[tex3]\frac{1}{1-x}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{1-x}[/tex3]
Editado pela última vez por Gu178 em 21 Mar 2017, 00:13, em um total de 1 vez.
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jedi
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Mar 2017
21
17:55
Re: (Farias Brito) Função Composta
sendo f_n(x)
[tex3]f_{n+1}=\frac{2f_n-1}{f_n+1}[/tex3]
[tex3]f_{n+2}=\frac{2.\frac{2f_n-1}{f_n+1}-1}{\frac{2f_n-1}{f_n+1}+1}=\frac{f_n-1}{f_n}[/tex3]
[tex3]f_{n+3}=\frac{2\frac{f_n-1}{f_n}-1}{\frac{f_n-1}{f_n}+1}=\frac{f_n-2}{2f_n-1}[/tex3]
[tex3]f_{n+4}=\frac{2\frac{f_n-2}{2f_n-1}-1}{\frac{f_n-2}{2f_n-1}+1}=\frac{1}{1-f_n}[/tex3]
[tex3]f_{n+5}=\frac{2.\frac{1}{1-f_n}-1}{\frac{1}{1-f_n}+1}=\frac{f_n+1}{2-f_n}[/tex3]
[tex3]f_{n+6}=\frac{2.\frac{f_n+1}{2-f_n}-1}{\frac{f_n+1}{2-f_n}+1}=f_n[/tex3]
ou seja a função se repete a cada 6 iterações
então
[tex3]f_{25}=f_1=\frac{2x-1}{x+1}[/tex3]
da terceira equação tiramos que
[tex3]f_{28}=\frac{f_{25}-2}{2f_{25}-1}[/tex3]
[tex3]f_{28}=\frac{\frac{2x-1}{x+1}-2}{2\frac{2x-1}{x+1}-1}[/tex3]
[tex3]f_{28}=\frac{1}{1-x}[/tex3]
[tex3]f_{n+1}=\frac{2f_n-1}{f_n+1}[/tex3]
[tex3]f_{n+2}=\frac{2.\frac{2f_n-1}{f_n+1}-1}{\frac{2f_n-1}{f_n+1}+1}=\frac{f_n-1}{f_n}[/tex3]
[tex3]f_{n+3}=\frac{2\frac{f_n-1}{f_n}-1}{\frac{f_n-1}{f_n}+1}=\frac{f_n-2}{2f_n-1}[/tex3]
[tex3]f_{n+4}=\frac{2\frac{f_n-2}{2f_n-1}-1}{\frac{f_n-2}{2f_n-1}+1}=\frac{1}{1-f_n}[/tex3]
[tex3]f_{n+5}=\frac{2.\frac{1}{1-f_n}-1}{\frac{1}{1-f_n}+1}=\frac{f_n+1}{2-f_n}[/tex3]
[tex3]f_{n+6}=\frac{2.\frac{f_n+1}{2-f_n}-1}{\frac{f_n+1}{2-f_n}+1}=f_n[/tex3]
ou seja a função se repete a cada 6 iterações
então
[tex3]f_{25}=f_1=\frac{2x-1}{x+1}[/tex3]
da terceira equação tiramos que
[tex3]f_{28}=\frac{f_{25}-2}{2f_{25}-1}[/tex3]
[tex3]f_{28}=\frac{\frac{2x-1}{x+1}-2}{2\frac{2x-1}{x+1}-1}[/tex3]
[tex3]f_{28}=\frac{1}{1-x}[/tex3]
Editado pela última vez por jedi em 21 Mar 2017, 17:55, em um total de 1 vez.
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