Ensino Médio(Farias Brito) Função Composta Tópico resolvido

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Gu178
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(Farias Brito) Função Composta

Mensagem não lida por Gu178 »

Seja [tex3]f_{1}(x)=\frac{2x-1}{x+1}[/tex3] , [tex3]f_{1}:\mathbb{R}[/tex3] -{-1}[tex3]\rightarrow \mathbb{R}[/tex3] -{2}, definamos [tex3]f_{n}(x)=f_{1}(f_{n-1}(x))[/tex3] , n=2,3,4 ... Sabendo que pode ser mostrado que [tex3]f_{35}=f_{5}[/tex3] , então [tex3]f_{28}(x)[/tex3] é igual a:
Resposta

[tex3]\frac{1}{1-x}[/tex3]

Última edição: Gu178 (Ter 21 Mar, 2017 00:13). Total de 1 vez.



Movido de IME / ITA para Ensino Médio em Ter 21 Mar, 2017 12:46 por ALDRIN

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jedi
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Mar 2017 21 17:55

Re: (Farias Brito) Função Composta

Mensagem não lida por jedi »

sendo f_n(x)

[tex3]f_{n+1}=\frac{2f_n-1}{f_n+1}[/tex3]

[tex3]f_{n+2}=\frac{2.\frac{2f_n-1}{f_n+1}-1}{\frac{2f_n-1}{f_n+1}+1}=\frac{f_n-1}{f_n}[/tex3]

[tex3]f_{n+3}=\frac{2\frac{f_n-1}{f_n}-1}{\frac{f_n-1}{f_n}+1}=\frac{f_n-2}{2f_n-1}[/tex3]

[tex3]f_{n+4}=\frac{2\frac{f_n-2}{2f_n-1}-1}{\frac{f_n-2}{2f_n-1}+1}=\frac{1}{1-f_n}[/tex3]

[tex3]f_{n+5}=\frac{2.\frac{1}{1-f_n}-1}{\frac{1}{1-f_n}+1}=\frac{f_n+1}{2-f_n}[/tex3]

[tex3]f_{n+6}=\frac{2.\frac{f_n+1}{2-f_n}-1}{\frac{f_n+1}{2-f_n}+1}=f_n[/tex3]

ou seja a função se repete a cada 6 iterações

então

[tex3]f_{25}=f_1=\frac{2x-1}{x+1}[/tex3]

da terceira equação tiramos que

[tex3]f_{28}=\frac{f_{25}-2}{2f_{25}-1}[/tex3]

[tex3]f_{28}=\frac{\frac{2x-1}{x+1}-2}{2\frac{2x-1}{x+1}-1}[/tex3]

[tex3]f_{28}=\frac{1}{1-x}[/tex3]

Última edição: jedi (Ter 21 Mar, 2017 17:55). Total de 1 vez.



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