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Mensagem não lidapor **petras** » Dom 19 Mar, 2017 10:19 · Mensagem não lida por **petras** » Dom 19 Mar, 2017 10:19

Uma função f é definida em A e tem imagem em B. Sabe-se que o conjunto A tem 2k-2 elementos e o conjunto B tem k + 3 elementos, com k > 1.
Neste caso, é correto afirmar que
a) se f é injetora, então k é estritamente igual a 5
b) o número máximo de funções injetoras que podem ser definidas de A em B é dado pelo arranjo de (k + 3) elementos tomados (2k – 2) a (2k – 2) elementos.
c) se f é sobrejetora, então 1 < k [tex3]\leq[/tex3] 5
d) f é bijetora para todo k

Alguém poderia explicar altera b ?

Se [tex3]f[/tex3] é injetora, [tex3]n(D)=n(Im)[/tex3] .

Se [tex3]n(D)>n(Im)[/tex3] , invariavelmente, mais de um elemento de [tex3]A[/tex3] terá que se ligar ao mesmo elemento de [tex3]B[/tex3] .

A própria resolução do arranjo quando [tex3]2k-2>k+3[/tex3] é impossível.

Mensagem não lidapor **petras** » Dom 19 Mar, 2017 13:35 · Mensagem não lida por **petras** » Dom 19 Mar, 2017 13:35

Qual a solução da questão então? Não consegui encontrar nenhuma verdadeira.

Letra (a), pela mesma razão que (b) é excluída.

Se [tex3]f[/tex3] é injetora, [tex3]n(D)=n(Im)[/tex3] .

Pelo enunciado,

[tex3]n(D)=2k-2[/tex3]
[tex3]n(Im)=k+3[/tex3]

c)

[tex3]n(D)\geq n(Im)[/tex3] para qualquer função.

Se isso não for verdade, faltarão elementos no domínio para associar a todos os elementos da imagem, já que um mesmo elemento do primeiro não pode se associar a mais de um do segundo.

d)

Para ser bijetora,

1) [tex3]n(D)=n(Im)[/tex3] , definindo a injeção.
2) [tex3]n(CD)=n(Im)[/tex3] , definindo a sobrejeção.

Para a primeira ser verdadeira, devemos ter [tex3]k=5[/tex3] .

Mensagem não lidapor **petras** » Dom 19 Mar, 2017 14:49 · Mensagem não lida por **petras** » Dom 19 Mar, 2017 14:49

Uma dúvida: como exemplo, se tivermos k = 2 teremos A = 2 elementos e B = 5 elementos

Podemos associar cada elemento de A a um elemento diferente em B. Assim teríamos uma função injetora, não? O fato de elementos de B ficar sem um correspondente em A não impede da função ser injetora, correto?
Como ele disse estritamente 5 não entendi por que ser verdadeira

Nenhum elemento do domínio ou da imagem pode ficar de fora. Isso pode ocorrer apenas com elementos do contra-domínio. Essa é a pegadinha desse exercício: trabalhar com a imagem e não o contra-domínio, que é o usual.

O domínio pode ter menos elementos que o contra-domínio, mas nunca tem menos elementos que a imagem. Ou tem a mesma quantidade (função injetora), ou tem mais (alguns elementos da imagens estarão associados ao mesmo elemento do domínio).

[tex3]n(D)≥n(Im)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n(D)≥n(Im)[/tex3]

para qualquer função.

Se isso não for verdade, faltarão elementos no domínio para associar a todos os elementos da imagem, já que um mesmo elemento do primeiro não pode se associar a mais de um do segundo.

Mensagem não lidapor **petras** » Seg 20 Mar, 2017 12:34 · Mensagem não lida por **petras** » Seg 20 Mar, 2017 12:34

Uma pegadinha e tanto pois todas as definições de injetividade que já vi mencionam apenas sobre a distinção de imagens para elementos do domínio diferentes. Então pela sua explicação se existirem elementos da imagem, para ser injetora, é necessário que esses elementos possuam seus correspondentes no domínio. Está certo este raciocínio? Teria alguma indicação de teoria sobre este caso específico?

Grato desde já pelos esclarecimentos.

Uma pegadinha e tanto pois todas as definições de injetividade que já vi mencionam apenas sobre a distinção de imagens para elementos do domínio diferentes.

E é exatamente isso. O restante vem das definições de função.

Então pela sua explicação se existirem elementos da imagem, para ser injetora, é necessário que esses elementos possuam seus correspondentes no domínio. Está certo este raciocínio?

Se você diz que um elemento pertence à imagem da função, ele obrigatoriamente deve ter um elemento correspondente no domínio. Isso não tem nada a ver com função injetora, isso é da definição de função.

Se [tex3]A[/tex3] é o domínio da função e [tex3]B[/tex3] é o seu contra-domínio, então:

[tex3]Im(f)=\{y\in B\mid y=f(x),x\in A\}[/tex3]

1) Todos os elementos do domínio têm que ter uma correspondência na imagem.
2) Todos os elementos da imagem têm que ter uma correspondência no domínio.
3) Um elemento do domínio só pode se associar a um elemento da imagem.

As regras acima são da definição de função, seja ela injetora, sobrejetora, bijetora, ou nenhuma delas.

Repare que, nessa situação, podemos ter, por exemplo, todos os elementos do domínio associados a um mesmo e único elemento da imagem (função constante). Nenhuma das afirmações acima foi ferida.

Elas só serão quebradas (e, portanto, não teremos uma função) se:

a) Um elemento do domínio não se associar a qualquer elemento da imagem.
b) Um elemento da imagem não se associar a qualquer elemento do domínio.
c) Um elemento do domínio se associar a mais de um elemento da imagem.

No caso da função injetora, uma regra é adicionada:

2.1) Um elemento da imagem não pode se associar a mais de um elemento do domínio.

Veja que isso em nada afeta as outras regras, ou seja,

2) Todos os elementos da imagem têm que ter uma correspondência no domínio.

Mensagem não lidapor **petras** » Seg 20 Mar, 2017 14:37 · Mensagem não lida por **petras** » Seg 20 Mar, 2017 14:37

Bastante claro. Muito obrigado!!

Eu citei a função constante, com o intuito de desenvolver um raciocínio, mas acabei esquecendo e o parágrafo ficou perdido no meio da explicação. Então, só para concluir...

Repare que, nessa situação, podemos ter, por exemplo, todos os elementos do domínio associados a um mesmo e único elemento da imagem (função constante). Nenhuma das afirmações acima foi ferida.

Mas, na função injetora, existe a regra que diz que

2.1) Um elemento da imagem não pode se associar a mais de um elemento do domínio.

Considerando o domínio como o conjunto de crianças e a imagem como o conjunto de brinquedos, o que vai ocorrer é que cada criança vai ter que achar o seu próprio brinquedo. E é por isso que, se existirem 10 crianças no domínio, precisaremos ter exatamente 10 brinquedos na imagem. Se tivermos menos brinquedos, algumas crianças ainda precisarão dividir, pois nenhuma criança pode ficar sem brinquedo (não será mais função injetora); se mais, sobrarão brinquedos, mas nenhum brinquedo pode ficar na prateleira do contra-domínio.

Isso era só para reforçar que, na função injetora, [tex3]D(f)=Im(f)[/tex3] , que é o que nos leva à resposta do exercício.

E, a partir disso,

Se [tex3]CD(f)=Im(f)[/tex3] , então a função também é sobrejetora e, portanto, bijetora.
Se [tex3]CD(f)>Im(f)[/tex3] , então a função é somente injetora.

Terminei!

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