Ensino Médio ⇒ Classificação de Função Injetora-Bijetora-Sobrejetora Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mar 2017
19
10:19
Classificação de Função Injetora-Bijetora-Sobrejetora
Uma função f é definida em A e tem imagem em B. Sabe-se que o conjunto A tem 2k-2 elementos e o conjunto B tem k + 3 elementos, com k > 1.
Neste caso, é correto afirmar que
a) se f é injetora, então k é estritamente igual a 5
b) o número máximo de funções injetoras que podem ser definidas de A em B é dado pelo arranjo de (k + 3) elementos tomados (2k – 2) a (2k – 2) elementos.
c) se f é sobrejetora, então 1 < k [tex3]\leq[/tex3] 5
d) f é bijetora para todo k
Alguém poderia explicar altera b ?
Neste caso, é correto afirmar que
a) se f é injetora, então k é estritamente igual a 5
b) o número máximo de funções injetoras que podem ser definidas de A em B é dado pelo arranjo de (k + 3) elementos tomados (2k – 2) a (2k – 2) elementos.
c) se f é sobrejetora, então 1 < k [tex3]\leq[/tex3] 5
d) f é bijetora para todo k
Alguém poderia explicar altera b ?
Última edição: petras (Dom 19 Mar, 2017 10:19). Total de 1 vez.
Mar 2017
19
12:47
Re: Classificação de Função Injetora-Bijetora-Sobrejetora
Se [tex3]f[/tex3]
Se [tex3]n(D)>n(Im)[/tex3] , invariavelmente, mais de um elemento de [tex3]A[/tex3] terá que se ligar ao mesmo elemento de [tex3]B[/tex3] .
A própria resolução do arranjo quando [tex3]2k-2>k+3[/tex3] é impossível.
é injetora, [tex3]n(D)=n(Im)[/tex3]
.Se [tex3]n(D)>n(Im)[/tex3] , invariavelmente, mais de um elemento de [tex3]A[/tex3] terá que se ligar ao mesmo elemento de [tex3]B[/tex3] .
A própria resolução do arranjo quando [tex3]2k-2>k+3[/tex3] é impossível.
Última edição: csmarcelo (Dom 19 Mar, 2017 12:47). Total de 2 vezes.
Mar 2017
19
13:35
Re: Classificação de Função Injetora-Bijetora-Sobrejetora
Qual a solução da questão então? Não consegui encontrar nenhuma verdadeira.
Mar 2017
19
13:53
Re: Classificação de Função Injetora-Bijetora-Sobrejetora
Letra (a), pela mesma razão que (b) é excluída.
Se [tex3]f[/tex3] é injetora, [tex3]n(D)=n(Im)[/tex3] .
Pelo enunciado,
[tex3]n(D)=2k-2[/tex3]
[tex3]n(Im)=k+3[/tex3]
c)
[tex3]n(D)\geq n(Im)[/tex3] para qualquer função.
Se isso não for verdade, faltarão elementos no domínio para associar a todos os elementos da imagem, já que um mesmo elemento do primeiro não pode se associar a mais de um do segundo.
d)
Para ser bijetora,
1) [tex3]n(D)=n(Im)[/tex3] , definindo a injeção.
2) [tex3]n(CD)=n(Im)[/tex3] , definindo a sobrejeção.
Para a primeira ser verdadeira, devemos ter [tex3]k=5[/tex3] .
Se [tex3]f[/tex3] é injetora, [tex3]n(D)=n(Im)[/tex3] .
Pelo enunciado,
[tex3]n(D)=2k-2[/tex3]
[tex3]n(Im)=k+3[/tex3]
c)
[tex3]n(D)\geq n(Im)[/tex3] para qualquer função.
Se isso não for verdade, faltarão elementos no domínio para associar a todos os elementos da imagem, já que um mesmo elemento do primeiro não pode se associar a mais de um do segundo.
d)
Para ser bijetora,
1) [tex3]n(D)=n(Im)[/tex3] , definindo a injeção.
2) [tex3]n(CD)=n(Im)[/tex3] , definindo a sobrejeção.
Para a primeira ser verdadeira, devemos ter [tex3]k=5[/tex3] .
Última edição: csmarcelo (Dom 19 Mar, 2017 13:53). Total de 1 vez.
Mar 2017
19
14:49
Re: Classificação de Função Injetora-Bijetora-Sobrejetora
Uma dúvida: como exemplo, se tivermos k = 2 teremos A = 2 elementos e B = 5 elementos
Podemos associar cada elemento de A a um elemento diferente em B. Assim teríamos uma função injetora, não? O fato de elementos de B ficar sem um correspondente em A não impede da função ser injetora, correto?
Como ele disse estritamente 5 não entendi por que ser verdadeira
Podemos associar cada elemento de A a um elemento diferente em B. Assim teríamos uma função injetora, não? O fato de elementos de B ficar sem um correspondente em A não impede da função ser injetora, correto?
Como ele disse estritamente 5 não entendi por que ser verdadeira
Mar 2017
19
17:53
Re: Classificação de Função Injetora-Bijetora-Sobrejetora
Nenhum elemento do domínio ou da imagem pode ficar de fora. Isso pode ocorrer apenas com elementos do contra-domínio. Essa é a pegadinha desse exercício: trabalhar com a imagem e não o contra-domínio, que é o usual.
O domínio pode ter menos elementos que o contra-domínio, mas nunca tem menos elementos que a imagem. Ou tem a mesma quantidade (função injetora), ou tem mais (alguns elementos da imagens estarão associados ao mesmo elemento do domínio).
O domínio pode ter menos elementos que o contra-domínio, mas nunca tem menos elementos que a imagem. Ou tem a mesma quantidade (função injetora), ou tem mais (alguns elementos da imagens estarão associados ao mesmo elemento do domínio).
[tex3]n(D)≥n(Im)[/tex3]para qualquer função.
Se isso não for verdade, faltarão elementos no domínio para associar a todos os elementos da imagem, já que um mesmo elemento do primeiro não pode se associar a mais de um do segundo.
Última edição: csmarcelo (Dom 19 Mar, 2017 17:53). Total de 1 vez.
Mar 2017
20
12:34
Re: Classificação de Função Injetora-Bijetora-Sobrejetora
Uma pegadinha e tanto pois todas as definições de injetividade que já vi mencionam apenas sobre a distinção de imagens para elementos do domínio diferentes. Então pela sua explicação se existirem elementos da imagem, para ser injetora, é necessário que esses elementos possuam seus correspondentes no domínio. Está certo este raciocínio? Teria alguma indicação de teoria sobre este caso específico?
Grato desde já pelos esclarecimentos.
Grato desde já pelos esclarecimentos.
Mar 2017
20
14:27
Re: Classificação de Função Injetora-Bijetora-Sobrejetora
E é exatamente isso. O restante vem das definições de função.Uma pegadinha e tanto pois todas as definições de injetividade que já vi mencionam apenas sobre a distinção de imagens para elementos do domínio diferentes.
Se você diz que um elemento pertence à imagem da função, ele obrigatoriamente deve ter um elemento correspondente no domínio. Isso não tem nada a ver com função injetora, isso é da definição de função.Então pela sua explicação se existirem elementos da imagem, para ser injetora, é necessário que esses elementos possuam seus correspondentes no domínio. Está certo este raciocínio?
Se [tex3]A[/tex3] é o domínio da função e [tex3]B[/tex3] é o seu contra-domínio, então:
[tex3]Im(f)=\{y\in B\mid y=f(x),x\in A\}[/tex3]
1) Todos os elementos do domínio têm que ter uma correspondência na imagem.
2) Todos os elementos da imagem têm que ter uma correspondência no domínio.
3) Um elemento do domínio só pode se associar a um elemento da imagem.
As regras acima são da definição de função, seja ela injetora, sobrejetora, bijetora, ou nenhuma delas.
Repare que, nessa situação, podemos ter, por exemplo, todos os elementos do domínio associados a um mesmo e único elemento da imagem (função constante). Nenhuma das afirmações acima foi ferida.
Elas só serão quebradas (e, portanto, não teremos uma função) se:
a) Um elemento do domínio não se associar a qualquer elemento da imagem.
b) Um elemento da imagem não se associar a qualquer elemento do domínio.
c) Um elemento do domínio se associar a mais de um elemento da imagem.
No caso da função injetora, uma regra é adicionada:
2.1) Um elemento da imagem não pode se associar a mais de um elemento do domínio.
Veja que isso em nada afeta as outras regras, ou seja,
2) Todos os elementos da imagem têm que ter uma correspondência no domínio.
Última edição: csmarcelo (Seg 20 Mar, 2017 14:27). Total de 1 vez.
Mar 2017
20
14:37
Re: Classificação de Função Injetora-Bijetora-Sobrejetora
Bastante claro. Muito obrigado!!
Mar 2017
20
15:03
Re: Classificação de Função Injetora-Bijetora-Sobrejetora
Eu citei a função constante, com o intuito de desenvolver um raciocínio, mas acabei esquecendo e o parágrafo ficou perdido no meio da explicação. Então, só para concluir...
Isso era só para reforçar que, na função injetora, [tex3]D(f)=Im(f)[/tex3] , que é o que nos leva à resposta do exercício.
E, a partir disso,
Se [tex3]CD(f)=Im(f)[/tex3] , então a função também é sobrejetora e, portanto, bijetora.
Se [tex3]CD(f)>Im(f)[/tex3] , então a função é somente injetora.
Terminei!
Mas, na função injetora, existe a regra que diz queRepare que, nessa situação, podemos ter, por exemplo, todos os elementos do domínio associados a um mesmo e único elemento da imagem (função constante). Nenhuma das afirmações acima foi ferida.
Considerando o domínio como o conjunto de crianças e a imagem como o conjunto de brinquedos, o que vai ocorrer é que cada criança vai ter que achar o seu próprio brinquedo. E é por isso que, se existirem 10 crianças no domínio, precisaremos ter exatamente 10 brinquedos na imagem. Se tivermos menos brinquedos, algumas crianças ainda precisarão dividir, pois nenhuma criança pode ficar sem brinquedo (não será mais função injetora); se mais, sobrarão brinquedos, mas nenhum brinquedo pode ficar na prateleira do contra-domínio.2.1) Um elemento da imagem não pode se associar a mais de um elemento do domínio.
Isso era só para reforçar que, na função injetora, [tex3]D(f)=Im(f)[/tex3] , que é o que nos leva à resposta do exercício.
E, a partir disso,
Se [tex3]CD(f)=Im(f)[/tex3] , então a função também é sobrejetora e, portanto, bijetora.
Se [tex3]CD(f)>Im(f)[/tex3] , então a função é somente injetora.
Terminei!
Última edição: csmarcelo (Seg 20 Mar, 2017 15:03). Total de 1 vez.
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