Ensino Médio

Questão 439 (Gandhi)

A expressão [tex3](a+b+c)^{5} - (a+b-c)^{5} - (b+c-a)^{5} - (c+a-b)^{5}[/tex3] é igual a:

Gabarito:80abc([tex3]a^{2} + b^{2} + c^{2}[/tex3] )

Mensagem não lidapor **jedi** » Sáb 18 Mar, 2017 00:56 · Mensagem não lida por **jedi** » Sáb 18 Mar, 2017 00:56

[tex3](a+b+c)^{5}-(a+b-c)^{5}-(b+c-a)^{5}-(a+c-b)^{5}[/tex3]

[tex3](a+b+c)^{5}-(a+b-c)^{5}-(-1)^5(a-b-c)^{5}-(a-b+c)^{5}[/tex3]

[tex3](a+b+c)^{5}-(a+b-c)^{5}+(a-b-c)^{5}-(a-b+c)^{5}[/tex3]

primeiro expandindo e fazendo a soma dos dois primeiros termos

[tex3](a+b+c)^{5}-(a+b-c)^{5}=[/tex3]

[tex3](a+b)^5+5.(a+b)^4c+10(a+b)^3c^2+10(a+b)^2c^3+5(a+b)c^4+c^5\\-(a+b)^5+5(a+b)^4c-10(a+b)^3c^2+10(a+b)^2c^3-5(a+b)c^4+c^5[/tex3]

[tex3]10(a+b)^4c+20(a+b)^2c^3+2c^5[/tex3]

procedendo da mesma forma para os dois últimos termos

[tex3](a-b-c)^{5}-(a-b+c)^{5}[/tex3]

[tex3](a-b)^5-5.(a-b)^4c+10(a-b)^3c^2-10(a-b)^2c^3+5(a-b)c^4-c^5\\-(a-b)^5-5(a-b)^4c-10(a-b)^3c^2-10(a-b)^2c^3-5(a-b)c^4-c^5[/tex3]

[tex3]-10(a-b)^4c-20(a-b)^2c^3-2c^5[/tex3]

somando esses dois termos

[tex3]10(a+b)^4c+20(a+b)^2c^3+2c^5-10(a-b)^4c-20(a-b)^2c^3-2c^5[/tex3]

[tex3]=10[(a+b)^4-(a-b)^4]c+20[(a+b)^2-(a-b)^2]c^3[/tex3]

[tex3]=10(a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4-a^4+4a^3b-6a^2b^2+4ab^3-b^4)c+20.4ab.c^3[/tex3]

[tex3]=10(8a^3b+8ab^3)c+20.4ab.c^3[/tex3]

[tex3]=80a^3bc+80ab^3c+80ab.c^3[/tex3]

[tex3]=80abc(a^2+b^2+c^2)[/tex3]

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