Ensino Médio ⇒ inequação irracional Tópico resolvido

[jomatlove]

Obter o conjunto solução:

[tex3]\sqrt{9-x} + \sqrt{x-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{9-x} + \sqrt{x-1}[/tex3]

<4

[Rafa2604]

[tex3]\sqrt{9-x} + \sqrt{x-1} < 4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{9-x} + \sqrt{x-1} < 4[/tex3]

[tex3][\sqrt{9-x} + \sqrt{x-1}]^2 < 4^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][\sqrt{9-x} + \sqrt{x-1}]^2 < 4^2[/tex3]

[tex3]9-x + 2 \cdot \sqrt{(9-x) \cdot (x-1)} + x-1 < 16[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]9-x + 2 \cdot \sqrt{(9-x) \cdot (x-1)} + x-1 < 16[/tex3]

[tex3]8 + 2 \cdot \sqrt{9x - 9 - x^2 + x} < 16[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]8 + 2 \cdot \sqrt{9x - 9 - x^2 + x} < 16[/tex3]

[tex3]2 \cdot \sqrt{-x^2 + 10x -9} < 8[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2 \cdot \sqrt{-x^2 + 10x -9} < 8[/tex3]

[tex3]\sqrt{-x^2 + 10x -9} < 4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{-x^2 + 10x -9} < 4[/tex3]

[tex3][\sqrt{-x^2 + 10x -9}]^2 < 4^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][\sqrt{-x^2 + 10x -9}]^2 < 4^2[/tex3]

[tex3]-x^2 + 10x - 9 < 16[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-x^2 + 10x - 9 < 16[/tex3]

[tex3]-x^2 + 10x - 25 < 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-x^2 + 10x - 25 < 0[/tex3]

[tex3]x^2 - 10x + 25 >0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2 - 10x + 25 >0[/tex3]

[tex3](x-5)^2 > 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-5)^2 > 0[/tex3]

[tex3]S = (-\infty, 5) \cup (5, \infty)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S = (-\infty, 5) \cup (5, \infty)[/tex3]

Ou seja, para todos os reais, exceto para x = 5.

[undefinied3]

Cuidado! Ao elevar ao quadrado você acaba resolvendo uma equação diferente da original, então se não voltar pra testar as condições de existência, você acaba dando um conjunto solução errado. Veja por exemplo que x não pode ser maior que 9 e menor que 1 por estar dentro de raízes quadradas que só admitem valores positivos.

Da condição de existência das raízes:
[tex3]x-1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x-1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1[/tex3]

[tex3]9-x \geq 0 \rightarrow x \leq 9[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]9-x \geq 0 \rightarrow x \leq 9[/tex3]

Então temos [tex3]1 \leq x \leq 9[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1 \leq x \leq 9[/tex3]

Feitas as restrições, podemos repetir os passos da Rafa e obter aquele conjunto solução, mas após isso, precisamos fazer a interseção com o conjunto acima, o que resulta em:

[tex3]S = [1, 5) \cup (5, 9][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S = [1, 5) \cup (5, 9][/tex3]

[Rafa2604]

Nossa, esqueci completamente de verificar as condições de existência!

Obrigada pelo reforço, tomarei mais cuidado.