[tex3]\frac{1}{\sqrt{x+ \sqrt{x^2-1}}}+\frac{1}{ \sqrt{x- \sqrt{x^2-1}}}= \sqrt{2(x^2+1)}[/tex3]
Resposta
S={1}
Ensino Médio ⇒ Equações Irracionais Tópico resolvido
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futuromilitar
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Mar 2017
16
20:06
Equações Irracionais
Resolver:
[tex3]\frac{1}{\sqrt{x+ \sqrt{x^2-1}}}+\frac{1}{ \sqrt{x- \sqrt{x^2-1}}}= \sqrt{2(x^2+1)}[/tex3]
S={1}
[tex3]\frac{1}{\sqrt{x+ \sqrt{x^2-1}}}+\frac{1}{ \sqrt{x- \sqrt{x^2-1}}}= \sqrt{2(x^2+1)}[/tex3]
S={1}
Última edição: futuromilitar (Qui 16 Mar, 2017 20:06). Total de 1 vez.
''Se você perdeu dinheiro, perdeu pouco. Se perdeu a honra, perdeu muito. Se perdeu a coragem, perdeu tudo.'' (Van Gogh)
Mar 2017
16
21:36
Re: Equações Irracionais
Antes vamos relembrar o produto notável: [tex3](a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2[/tex3]
[tex3]\frac{1}{\sqrt{x+ \sqrt{x^2-1}}}+\frac{1}{ \sqrt{x- \sqrt{x^2-1}}}= \sqrt{2(x^2+1)}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{x-\sqrt{x^2-1} }+ \sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}}{\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}} \cdot \sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}}= \sqrt{2(x^2+1)}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{x-\sqrt{x^2-1} }+ \sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}}{\sqrt{x^2-(x^2-1)} }= \sqrt{2(x^2+1)}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{x-\sqrt{x^2-1} }+ \sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}}{\sqrt{x^2-x^2+1} }= \sqrt{2(x^2+1)}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{x-\sqrt{x^2-1} }+ \sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}}{\sqrt{1} }= \sqrt{2(x^2+1)}[/tex3]
[tex3]\sqrt{x-\sqrt{x^2-1} }+ \sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}= \sqrt{2(x^2+1)}[/tex3]
[tex3][\sqrt{x-\sqrt{x= ^2-1} }+ \sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}]^2= [\sqrt{2(x^2+1)}]^2[/tex3]
[tex3]x - \sqrt{x^2-1}+ 2 \cdot (x-\sqrt{x^2-1})\cdot(x+\sqrt{x^2-1}) + x + \sqrt{x^2-1} = 2 (x^2+1)[/tex3]
[tex3]2x+ 2 \cdot (x-\sqrt{x^2-1})\cdot(x+\sqrt{x^2-1}) = 2 (x^2+1)[/tex3]
[tex3]2x + 2 \cdot (x^2 - (x^2-1)) = 2(x^2+1)[/tex3]
[tex3]2x + 2 = 2(x^2+1)[/tex3]
[tex3]x + 1 = x^2 + 1[/tex3]
[tex3]x = x^2[/tex3]
[tex3]x^2 - x = 0[/tex3]
[tex3]x \cdot (x-1) = 0[/tex3]
Portanto, [tex3]x = 0[/tex3] e [tex3]x =1[/tex3] .
Mas note que [tex3]x \neq 0[/tex3] , pois teríamos uma raiz negativa na equação original.
[tex3]\frac{1}{\sqrt{x+ \sqrt{x^2-1}}}+\frac{1}{ \sqrt{x- \sqrt{x^2-1}}}= \sqrt{2(x^2+1)}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{x-\sqrt{x^2-1} }+ \sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}}{\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}} \cdot \sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}}= \sqrt{2(x^2+1)}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{x-\sqrt{x^2-1} }+ \sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}}{\sqrt{x^2-(x^2-1)} }= \sqrt{2(x^2+1)}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{x-\sqrt{x^2-1} }+ \sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}}{\sqrt{x^2-x^2+1} }= \sqrt{2(x^2+1)}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{x-\sqrt{x^2-1} }+ \sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}}{\sqrt{1} }= \sqrt{2(x^2+1)}[/tex3]
[tex3]\sqrt{x-\sqrt{x^2-1} }+ \sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}= \sqrt{2(x^2+1)}[/tex3]
[tex3][\sqrt{x-\sqrt{x= ^2-1} }+ \sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}]^2= [\sqrt{2(x^2+1)}]^2[/tex3]
[tex3]x - \sqrt{x^2-1}+ 2 \cdot (x-\sqrt{x^2-1})\cdot(x+\sqrt{x^2-1}) + x + \sqrt{x^2-1} = 2 (x^2+1)[/tex3]
[tex3]2x+ 2 \cdot (x-\sqrt{x^2-1})\cdot(x+\sqrt{x^2-1}) = 2 (x^2+1)[/tex3]
[tex3]2x + 2 \cdot (x^2 - (x^2-1)) = 2(x^2+1)[/tex3]
[tex3]2x + 2 = 2(x^2+1)[/tex3]
[tex3]x + 1 = x^2 + 1[/tex3]
[tex3]x = x^2[/tex3]
[tex3]x^2 - x = 0[/tex3]
[tex3]x \cdot (x-1) = 0[/tex3]
Portanto, [tex3]x = 0[/tex3] e [tex3]x =1[/tex3] .
Mas note que [tex3]x \neq 0[/tex3] , pois teríamos uma raiz negativa na equação original.
Última edição: Rafa2604 (Qui 16 Mar, 2017 21:36). Total de 1 vez.
Mar 2017
16
21:51
Re: Equações Irracionais
Olá boa noite. Quando estava digitando a colega já tinha postado a solução. Para não desperdiçar vou postar. Tá praticamente a mesma resolução da colega Rafa.
Na resolução vamos utilizar:
I) [tex3](a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b[/tex3]
II) [tex3]a^{2}-b^{2}=(a+b)\cdot (a-b)[/tex3]
III) [tex3]\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}=\frac{a\cdot d\pm b\cdot c}{b\cdot d}[/tex3]
Vamos a solução:
[tex3]\frac{1}{\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}}+\frac{1}{\sqrt{x-\sqrt{x^{2}-1}}}=\sqrt{2\cdot (x^{2}+1)}[/tex3] . Utilize (III):
[tex3]\frac{\sqrt{x-\sqrt{x^{2}-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}}{\sqrt{(x-\sqrt{x^{2}-1})\cdot (x+\sqrt{x^{2}-1})}}=\sqrt{2\cdot (x^{2}+1)}[/tex3] . Eleve ambos membros ao quadrado:
[tex3]\frac{(\sqrt{x-\sqrt{x^{2}-1}})^{2}+(\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}})^{2}}{(\sqrt{(x-\sqrt{x^{2}-1})\cdot (x+\sqrt{x^{2}-1})})^{2}}=(\sqrt{2x^{2}+2})^{2}[/tex3]
[tex3]\frac{x-\sqrt{x^{2}-1}+x+\sqrt{x^{2}-1}+2\cdot \sqrt{(x-\sqrt{x^{2}-1})\cdot (x+\sqrt{x^{2}-1})}}{(x-\sqrt{x^{2}-1})\cdot (x+\sqrt{x^{2}-1})}=2x^{2}+2[/tex3] . Fazendo as Simplificações e utilizando (II):
[tex3]\frac{2x+2\cdot (\sqrt{x^{2}-x^{2}+1})}{x^{2}-x^{2}+1}=2x^{2}+2[/tex3]
[tex3]\frac{2x+2\cdot \sqrt{1}}{1}=2x^{2}+2[/tex3]
[tex3]2x+2=2x^{2}+2[/tex3]
[tex3]2x^{2}-2x=0[/tex3]
[tex3]2x\cdot (x-1)=0[/tex3] . Para o produto ser igual a zero, temos duas possibilidades:
[tex3]2x=0\rightarrow x=0[/tex3]
Ou
[tex3]x-1=0\rightarrow x=1[/tex3]
Se vc substituir x=0, produzirá raiz complexa. Acredito que seja [tex3]x\in \mathbb{R}[/tex3] , logo [tex3]x=1[/tex3] .
Att>> rodBR.
Na resolução vamos utilizar:
I) [tex3](a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b[/tex3]
II) [tex3]a^{2}-b^{2}=(a+b)\cdot (a-b)[/tex3]
III) [tex3]\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}=\frac{a\cdot d\pm b\cdot c}{b\cdot d}[/tex3]
Vamos a solução:
[tex3]\frac{1}{\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}}+\frac{1}{\sqrt{x-\sqrt{x^{2}-1}}}=\sqrt{2\cdot (x^{2}+1)}[/tex3] . Utilize (III):
[tex3]\frac{\sqrt{x-\sqrt{x^{2}-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}}{\sqrt{(x-\sqrt{x^{2}-1})\cdot (x+\sqrt{x^{2}-1})}}=\sqrt{2\cdot (x^{2}+1)}[/tex3] . Eleve ambos membros ao quadrado:
[tex3]\frac{(\sqrt{x-\sqrt{x^{2}-1}})^{2}+(\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}})^{2}}{(\sqrt{(x-\sqrt{x^{2}-1})\cdot (x+\sqrt{x^{2}-1})})^{2}}=(\sqrt{2x^{2}+2})^{2}[/tex3]
[tex3]\frac{x-\sqrt{x^{2}-1}+x+\sqrt{x^{2}-1}+2\cdot \sqrt{(x-\sqrt{x^{2}-1})\cdot (x+\sqrt{x^{2}-1})}}{(x-\sqrt{x^{2}-1})\cdot (x+\sqrt{x^{2}-1})}=2x^{2}+2[/tex3] . Fazendo as Simplificações e utilizando (II):
[tex3]\frac{2x+2\cdot (\sqrt{x^{2}-x^{2}+1})}{x^{2}-x^{2}+1}=2x^{2}+2[/tex3]
[tex3]\frac{2x+2\cdot \sqrt{1}}{1}=2x^{2}+2[/tex3]
[tex3]2x+2=2x^{2}+2[/tex3]
[tex3]2x^{2}-2x=0[/tex3]
[tex3]2x\cdot (x-1)=0[/tex3] . Para o produto ser igual a zero, temos duas possibilidades:
[tex3]2x=0\rightarrow x=0[/tex3]
Ou
[tex3]x-1=0\rightarrow x=1[/tex3]
Se vc substituir x=0, produzirá raiz complexa. Acredito que seja [tex3]x\in \mathbb{R}[/tex3] , logo [tex3]x=1[/tex3] .
Att>> rodBR.
Última edição: rodBR (Qui 16 Mar, 2017 21:51). Total de 2 vezes.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
Mar 2017
16
23:04
Re: Equações Irracionais
Embora já responderam hehe, vou deixar só uma dica pra economizar papel, principalmente quando você identificar questão desse tipo
Observe que você pode chamar [tex3]\sqrt{x^2 -1}=t[/tex3] Parece bobinho só mudar a incógnita mas isso economiza uma folha e te deixa com menos chance de errar por falta de atenção na hora de fazer as operações ! De resto a galera já respondeu, fazendo isso você cai numa diferença de quadrados e já era.
Observe que você pode chamar [tex3]\sqrt{x^2 -1}=t[/tex3] Parece bobinho só mudar a incógnita mas isso economiza uma folha e te deixa com menos chance de errar por falta de atenção na hora de fazer as operações ! De resto a galera já respondeu, fazendo isso você cai numa diferença de quadrados e já era.
Última edição: crowmd (Qui 16 Mar, 2017 23:04). Total de 1 vez.
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