Ensino Médio ⇒ Equações Irracionais Tópico resolvido

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Resolver a equação irracional :
[tex3]\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}=\sqrt{x+34}-\sqrt{x+7}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}=\sqrt{x+34}-\sqrt{x+7}[/tex3]

Resposta

---

S={2}

[rodBR]

Olá, bom dia.

Em equações irracionais quase sempre utilizamos produtos notáveis, e nessa equação proposta por vc vamos utilizar:

[tex3](a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b[/tex3]

[tex3](a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b[/tex3]

Vamos elevar ao quadrado ambos os membros até eliminarmos o sinal de raiz quadrada.
Solução:
[tex3]\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}=\sqrt{x+34}-\sqrt{x+7}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2}=\sqrt{x+34}-\sqrt{x+7}[/tex3]

. Eleve ambos os membros ao quadrado:
[tex3](\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2})^{2}=(\sqrt{x+34}-\sqrt{x+7})^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\sqrt{x-1}+\sqrt{x+2})^{2}=(\sqrt{x+34}-\sqrt{x+7})^{2}[/tex3]

[tex3]x-1+x+2+2\cdot \sqrt{(x-1)\cdot (x+2)}=x+34+x+7-2\cdot \sqrt{(x+34)\cdot (x+7)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x-1+x+2+2\cdot \sqrt{(x-1)\cdot (x+2)}=x+34+x+7-2\cdot \sqrt{(x+34)\cdot (x+7)}[/tex3]

[tex3]2\cdot \sqrt{(x-1)\cdot (x+2)}=40-2\cdot \sqrt{(x+34)\cdot (x+7)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\cdot \sqrt{(x-1)\cdot (x+2)}=40-2\cdot \sqrt{(x+34)\cdot (x+7)}[/tex3]

. Divida ambos os membros por 2:
[tex3]\sqrt{(x-1)\cdot (x+2)}=20-\sqrt{(x+34)\cdot (x+7)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{(x-1)\cdot (x+2)}=20-\sqrt{(x+34)\cdot (x+7)}[/tex3]

. Eleve ambos os membros ao quadrado:
[tex3](\sqrt{(x-1)\cdot (x+2)})^{2}=(20-\sqrt{(x+34)\cdot (x+7)})^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\sqrt{(x-1)\cdot (x+2)})^{2}=(20-\sqrt{(x+34)\cdot (x+7)})^{2}[/tex3]

[tex3](x-1)\cdot (x+2)=400+(x+34)\cdot (x+7)-40\cdot \sqrt{(x+34)\cdot (x+7)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-1)\cdot (x+2)=400+(x+34)\cdot (x+7)-40\cdot \sqrt{(x+34)\cdot (x+7)}[/tex3]

[tex3]x^{2}+x-2=400+x^{2}+7x+34x+238-40\cdot \sqrt{(x+34)\cdot (x+7)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}+x-2=400+x^{2}+7x+34x+238-40\cdot \sqrt{(x+34)\cdot (x+7)}[/tex3]

. Fazendo as simplificações e rearrumando a equação, temos:
[tex3]-40x-640=-40\cdot \sqrt{(x+34)\cdot (x+7)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-40x-640=-40\cdot \sqrt{(x+34)\cdot (x+7)}[/tex3]

. Divida ambos os membros por [tex3]-40[/tex3]

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[tex3]-40[/tex3]

:
[tex3]x+16=\sqrt{(x+34)\cdot (x+7)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+16=\sqrt{(x+34)\cdot (x+7)}[/tex3]

. Eleve ambos os membros ao quadrado:
[tex3](x+16)^{2}=(\sqrt{(x+34)\cdot (x+7)})^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x+16)^{2}=(\sqrt{(x+34)\cdot (x+7)})^{2}[/tex3]

[tex3]x^{2}+32x+256=(x+34)\cdot (x+7)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}+32x+256=(x+34)\cdot (x+7)[/tex3]

[tex3]x^{2}+32x+256=x^{2}+7x+34x+238[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}+32x+256=x^{2}+7x+34x+238[/tex3]

[tex3]32x+256=41x+238[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]32x+256=41x+238[/tex3]

[tex3]9x=18[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]9x=18[/tex3]

[tex3]x=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=2[/tex3]

Att>>rodBR.