Ensino Médio ⇒ Quadrilatero-Circunferencia

[Cientista]

Demonstre o seguinte Teorema: " Num Quadrilatero inscrito numa circunferencia, a soma das medidas dos angulos opostos e igual a 180.o " .

[jedi]

trançando retas do centro do circulo até os quatro cantos do quadrilátero formamos quatro triângulos isoceles de lados iguais a r que é o reio da circunferência.

quadri_circ.png (3.95 KiB) Exibido 843 vezes

como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360:

[tex3]\phi+\theta+\theta+\beta+\beta+\alpha+\alpha+\phi=360[/tex3]

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[tex3]\phi+\theta+\theta+\beta+\beta+\alpha+\alpha+\phi=360[/tex3]

[tex3]2(\theta+\phi+\beta+\alpha)=360[/tex3]

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[tex3]2(\theta+\phi+\beta+\alpha)=360[/tex3]

[tex3]\theta+\phi+\beta+\alpha=180[/tex3]

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[tex3]\theta+\phi+\beta+\alpha=180[/tex3]

[tex3]\theta+\phi=180-(\beta+\alpha)[/tex3]

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[tex3]\theta+\phi=180-(\beta+\alpha)[/tex3]

repare que [tex3]\theta+\phi[/tex3]

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[tex3]\theta+\phi[/tex3]

é um ângulo do quadrilátero e [tex3]\beta+\alpha[/tex3]

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[tex3]\beta+\alpha[/tex3]

é seu ângulo oposto, portanto esta é a prova.

[Cientista]

Obrigado Jedi !! interessante, e se estivesse circunscrito como seria?

[jedi]

Cientista, boa tarde

Para um quadrilátero circunscrito essa relação não é verdadeira, a soma dos angulos opostos não é necessariamente 180