Ensino Médio

Demonstre que o comprimento de cada uma das diagonais dum quadrilatero e menor que a semi-soma dos comprimentos de todos os seus lados.

AMIGOOOS.. ajudaaa !!! Por Favooor.. Algueem?!!

Mensagem não lidapor **Marcos** » Seg 27 Mar, 2017 09:16 · Mensagem não lida por **Marcos** » Seg 27 Mar, 2017 09:16

Cientista escreveu: Demonstre que o comprimento de cada uma das diagonais dum quadrilatero e menor que a semi-soma dos comprimentos de todos os seus lados.

Olá Cientista.A demonstração que se refere seria esta Demonstre que o comprimento de cada uma das diagonais de um quadrilátero é menor que a soma e maior que a semi-soma dos comprimentos de todos os seus lados.Observe a desmonstração:

: ASD.gif (1.85 KiB) Exibido 1578 vezes

Deveremos ter :

[tex3]AC+BD<AB+BC+CD+AD[/tex3]

[tex3]AC+BD>\frac{1}{2}\left(AB+BC+CD+AD\right)[/tex3]

[tex3]1)[/tex3] Temos:

[tex3]AC<AB+BC[/tex3]

[tex3]AC<AD+DC[/tex3]

.

Temos igualmente:

[tex3]BD<BC+CD[/tex3]

[tex3]BD<AB+AD[/tex3]

.

Somando estas desigualdades membro a membro, e dividindo cada soma por [tex3]2[/tex3] , obtemos:

[tex3]AC+BD<AB+BC+CD+AD[/tex3]

[tex3]2)[/tex3] Temos:

[tex3]OA+OB>AB[/tex3]

[tex3]OB+OC>BC[/tex3]

[tex3]OC+OD>CD[/tex3]

[tex3]OD+OA>DA[/tex3]

Somando estas desigualdades, e dividindo cada soma por [tex3]2[/tex3] , temos:
[tex3]OA+OB+OC+OD>\frac{1}{2}\left(AB+BC+CD+AD\right)[/tex3] , ou, finalmente [tex3]\boxed{\boxed{AC+BD>\frac{1}{2} \left(AB+BC+CD+AD\right)}} \ \ \ (c.q.d)[/tex3]

Resposta: [tex3]Demonstração[/tex3] .

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