Ensino Médio ⇒ Número de pares Tópico resolvido

[undefinied3]

Determine todos os pares de inteiros não negativos (x,y) tais que:

[tex3](xy-7)^2=x^2+y^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](xy-7)^2=x^2+y^2[/tex3]

[Ivo213]

[quote="undefinied3"]
Determine todos os pares de inteiros não negativos (x,y) tais que:
(xy−7)2=x2+y2(xy−7)2=x2+y2

O par (3,4) é um deles.
Será que existe(m) outro(s) ?


Um abraço.

[undefinied3]

Sim, existem mais. (0,7), por exemplo. Eu tentei ir pelo fato de que a equação é a mesma que a das ternas pitagóricas, portanto as soluções seriam do tipo [tex3]x=a^2-b^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=a^2-b^2[/tex3]

, [tex3]y=2ab[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=2ab[/tex3]

, [tex3]xy-7=a^2+b^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]xy-7=a^2+b^2[/tex3]

, mas não consegui desenvolver a ideia.

[Ivo213]

Bom dia, também fiz x=2ab e y=a²-b², mas ficou extremamente complexo.
Realmente o par 0,7 também atende à questão, embora não chegue a ser um terno pitagórico.
Procurei em uma tabela de ternos pitagóricos, mas me parece que não há nenhum outro par x,y que atenda às condições da equação.

Tenha um abençoado final de semana!

[undefinied3]

[tex3](xy-7)^2=x^2+y^2 \rightarrow (xy)^2-14xy+49=x^2+y^2 \rightarrow (xy^2)-12xy+36+13=x^2+2xy+y^2 \rightarrow[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](xy-7)^2=x^2+y^2 \rightarrow (xy)^2-14xy+49=x^2+y^2 \rightarrow (xy^2)-12xy+36+13=x^2+2xy+y^2 \rightarrow[/tex3]

[tex3](xy-6)^2+13=(x+y)^2 \rightarrow (x+y+xy-6)(x+y-xy+6)=13[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](xy-6)^2+13=(x+y)^2 \rightarrow (x+y+xy-6)(x+y-xy+6)=13[/tex3]

Aí é só verificar os casos e tá demonstrado que apenas os pares (3,4), (7,0) e seus simétricos são solução.

[petras]

Apenas uma questão. O enunciado pede um par de inteiros não negativos. O 0 não é positivo e nem negativo. Ele estaria entrando nesta condição?

[undefinied3]

Sim. Sempre que um enunciado pede "inteiros não negativos", é pra entrar o zero, inclusive em questões do tipo número de soluções não negativos de [tex3]x_1+x_2+...+x_n=p[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_1+x_2+...+x_n=p[/tex3]

. Caso o contrário, ele fala inteiros positivos.

[petras]

Entendido! Grato!