Ensino Médio

04 Mar 2017, 22:08

Demonstrar que, para qualquer número inteiro n, o número [tex3]11^{n + 2} + 12^{2n + 1}[/tex3] é divisável por 133.

Mensagem não lida por **jedi** » 05 Mar 2017, 09:02

Podemos utilizar do método da indução para provar
Vamos imaginar que exista um valor de n e x inteiros para os quais é válido a equação

[tex3]133x=11^{n+2}+12^{2n+1}[/tex3]

vamos agora ver o que acontece para n+1

[tex3]11^{n+1+2}+12^{2(n+1)+1}[/tex3]

[tex3]=11.11^{n+2}+12^{2}12^{2n+1}[/tex3]

[tex3]=11.11^{n+2}+144.12^{2n+1}[/tex3]

[tex3]=11.11^{n+2}+(133+11).12^{2n+1}[/tex3]

[tex3]=11.11^{n+2}+11.12^{2n+1}+133.12^{2n+1}[/tex3]

[tex3]=11.(11^{n+2}+12^{2n+1})+133.12^{2n+1}[/tex3]

[tex3]=11.133.x+133.12^{2n+1}[/tex3]

[tex3]=133(11.x+12^{2n+1})[/tex3]

ou seja também é divisível por 133

portanto se [tex3]11^{n+1}+12^{2n+1}[/tex3] é divisível por 133 então a expressão gerada para n+1 também será, consequentemente n+2, n+3, n+4... também serão

mas note que quanto n=0

[tex3]11^{0+2}+12^{2.0+1}[/tex3]

[tex3]11^2+12=133[/tex3]

então se a expressão é divisível para n=0 também será para n=1,2, 3, 4, 5, 6, ...

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