Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória

[brunoafa]

Uma enciclopédia consiste de 8 volumes, numerados de 1 a 8, inicialmente organizados na ordem crescente de seus números.

a) De quantas maneiras podemos colocar estes volumes em uma prateleira de modo que ao menos um volume não esteja ocupando a mesma posição inicial?
b) De quantas maneiras podemos colocar estes volumes em uma prateleira de modo que exatamente um volume não esteja colocado em ordem crescente? Por exemplo, [tex3]2,1, 3, 4, 5, 6, 7, 8[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2,1, 3, 4, 5, 6, 7, 8[/tex3]

ou [tex3]1, 2, 4, 5, 4, 6, 7, 8[/tex3]

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[tex3]1, 2, 4, 5, 4, 6, 7, 8[/tex3]

c) De quantas maneiras podemos selecionar [tex3]3[/tex3]

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[tex3]3[/tex3]

dos [tex3]8[/tex3]

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[tex3]8[/tex3]

volumes de forma que eles não possuam números consecutivos?

Resposta

---

Gabarito
a)[tex3]8!-1[/tex3]

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[tex3]8!-1[/tex3]

b)[tex3]7! \cdot 7![/tex3]

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[tex3]7! \cdot 7![/tex3]

ou [tex3]8! \cdot 7! - 7![/tex3]

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[tex3]8! \cdot 7! - 7![/tex3]

(ele não escreveu o fatorial nessa mas acredito que seja assim)
c)[tex3]C_{6}^{3}[/tex3]

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[tex3]C_{6}^{3}[/tex3]

[314159265]

a) De quantas formas eu posso organizar? Considere cada underline um slot na prateleira:

8 formas 7 formas 6 formas 5 formas 4 formas 3 formas 2 formas 1 forma

Então eu posso organizá-las de 8*7*6*5*4*3*2*1 formas que é a mesma coisa que 8! formas. Mas ele coloca uma restrição. Ele quer que pelo menos 1 não ocupe a mesma posição de antes. Então vamos pegar todos os casos possíveis (8!) e subtrair justamente o que ele não quer, que é apenas 1 das formas possíveis, onde todos os volumes ocupam suas posições iniciais.

Alguém, por favor, ajude o colega com o resto porque tou muito cansado pra pensar agora. rs

[csmarcelo]

b)

[tex3]7!\cdot7![/tex3]

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[tex3]7!\cdot7![/tex3]

ou [tex3]8!\cdot7!-7![/tex3]

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[tex3]8!\cdot7!-7![/tex3]

(ele não escreveu o fatorial nessa mas acredito que seja assim)

Essa não pode ser a resposta, visto que resulta em um número de possibilidades além do possível sem restrição alguma, que é [tex3]8![/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]8![/tex3]

. Além disso, as expressões possuem valores distintos, mas passam a ser equivalentes justamente quando retiramos os fatoriais.

No entanto, acredito que nem assim chegamos na resposta correta.

Ao meu ver, teremos somente um volume fora de ordem se trocarmos a ordem de volumes contíguos apenas. E isso resulta em somente 7 maneiras de arrumarmos os livros.

2-1-3-4-5-6-7-8 - volumes 1 e 2 trocados de lugar
1-3-2-4-5-6-7-8 - volumes 2 e 3 trocados de lugar
1-2-4-3-5-6-7-8 - volumes 3 e 4 trocados de lugar
1-2-3-5-4-6-7-8 - volumes 4 e 5 trocados de lugar
1-2-3-4-6-5-7-8 - volumes 5 e 6 trocados de lugar
1-2-3-4-5-7-6-8 - volumes 6 e 7 trocados de lugar
1-2-3-4-5-6-8-7 - volumes 7 e 8 trocados de lugar

Talvez não esteja vendo algo.

c)

Dê uma olhada aqui. A ideia é a mesma. Sim, parece ser mais complicada do que precisa ser, mas continuo não conseguindo pensar em algo melhor.

Transportando o raciocínio para cá.

[tex3]C^{5-1}_{2-1}+2\cdot C^{5-1}_{3-1}+C^{5-1}_{4-1}=C^6_3=20[/tex3]

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[tex3]C^{5-1}_{2-1}+2\cdot C^{5-1}_{3-1}+C^{5-1}_{4-1}=C^6_3=20[/tex3]

[Deleted User 23699]

Olá.

b)
Percebemos que
12345678 está em ordem crescente.
Queremos o numero de maneiras de organizarmos essa sequencia de forma que um dos volumes não esteja em ordem crescente. Isso significa que o número desse volume tem que ser maior do que o número do volume seguinte.

Vamos listar o numero de maneiras que podemos mover o livro 1.
21345678 (veja 21...)
23145678 (veja 31...)
23415678 (veja 41...)
23451678 etc
23456178
23456718
23456781
Percebemos que existem sete maneiras de movermos o volume 1 de tal modo que a sequência possua apenas um volume que nao esteja em ordem crescente.
Temos 8 números e podemos fazer isso com os oito.
Todavia, quando formos escrever as próximas sequencias possíveis iremos nos deparar com uma repetição unitária em todos os casos.
Exemplo: vamos mover o 2.
21345677
13245678
13425678
13452678
13456278
13456728
13456782
Perceba que a primeira sequência é repetida. Ja tinhamos obtido ela quando estavamos sequenciando as possibilidades para 1.
Desse modo, como temos 8 numeros e para cada um temos 7 sequencias possiveis, sendo que 1 dessas sete sequencias possiveis é repetida, a resposta do problema é

8.7 - 7 = 49

c) Essa é uma simples aplicação do 1 Lema de Kaplansky. Não vou demonstra-lo aqui mas é uma resposta direta.