Ensino MédioAnálise Combinatória

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brunoafa
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Análise Combinatória

Mensagem não lida por brunoafa »

Um saco de bombons possui [tex3]20[/tex3] bombons pretos, [tex3]18[/tex3] bombons brancos e [tex3]16[/tex3] bombons verdes. Todos os bombons da mesma cor são idênticos.

a)De quantas maneiras é possível retirar do saco o menos um bombom? A ordem da seleção é relevante.
Resposta

[tex3]21 \cdot 19 \cdot 17 -1[/tex3]
b)De quantas maneiras os bombons podem ser divididos entre duas crianças se cada uma deve receber ao menos dois bombons de cada cor?
Resposta

[tex3]21 \cdot 19 \cdot 17 -2[/tex3]
c)De quantas maneiras os bombons podem ser divididos entre duas crianças se cada uma deve receber ao menos dois bombons de cada cor?
Resposta

[tex3]17 \cdot 15 \cdot 13[/tex3]
d)De quantas maneiras os bombons podem ser divididos entre três crianças se cada uma deve receber ao menos um bombom de cada cor?
Resposta

[tex3]C_{19}^{2}\cdot C_{17}^{2}\cdot C_{15}^{2}[/tex3]

Última edição: brunoafa (Sex 03 Mar, 2017 22:38). Total de 4 vezes.


MACTE ANIMO! GENEROSE PUER, SIC ITUR AD ASTRA

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brunoafa
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Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por brunoafa »

Bump.



MACTE ANIMO! GENEROSE PUER, SIC ITUR AD ASTRA

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Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por 314159265 »

a)

Eu posso tirar bombons pretos de 21 formas: 1 preto, 2 pretos, 3 pretos ... 20 pretos, ou então NENHUM preto.
Eu posso tirar bombons brancos de 19 formas: 1 branco, 2 brancos, 3 brancos ... 18 brancos, ou então NENHUM branco.
Pelo mesmo motivo, posso tirar bombons verdes de 17 formas.
Mas lembre-se que eu tenho que pegar pelo menos 1 bombom, então a combinação de pegar 0 pretos, 0 brancos e 0 verdes não deve ser contada.

Resposta: [tex3]21\times19\times17-1[/tex3]

b)

Se cada criança já começa o problema com 2 bombons pretos, então me sobram 18. Posso distribuí-los da seguinte forma: 0+18,1+17,2+16,3+15...9+9...16+2,17+1,18+0. Então são 17 combinações possíveis.

Se cada criança já começa o problema com 2 bombons brancos, então me sobram 16. Posso distribuí-los da seguinte forma: 0+16,1+15,2+14,3+13...8+8...14+2,15+1,16+0. Então são 15 combinações possíveis.

Se cada criança já começa o problema com 2 bombons verdes, então me sobram 14. Para esses 14 bombons, são 0+14,1+13,2+12,3+11...7+7...12+2,13+1,14+0. Então são 13 combinações possíveis.

Resposta: [tex3]17\times15\times13[/tex3]

c) A pergunta não está igual à da letra b?

d) Se cada criança já começa o problema com 1 bombom preto, então me sobram 17. De quantas formas eu posso distribuir esses 17 bombons pra 3 crianças? Aí já fica um pouco menos óbvio. Imagine que os sinais de "+" abaixo separam o que cada criança vai receber e os sinais de "|" representam cada bombom.

Se a primeira criança receber 3, a segunda 9 e a terceira 5, fica assim: |||+|||||||||+|||||
Se a primeira criança receber 5, a segunda 7 e a terceira 5, fica assim: |||||+|||||||+|||||
Se a primeira criança receber 0, a segunda 0 e a terceira 17, fica assim: ++|||||||||||||||||

Então isso significa que se eu fizer permutações com repetição desses elementos eu vou achar o número de formas de distribuir esses 17 bombons restantes para as 3 crianças, certo? O resultado dessas permutações será: [tex3]P_{19}^{2,17}=\frac{19!}{2!17!}=C_{19}^{2}[/tex3] . Pode pensar assim também: tenho 19 vagas e quero saber de quantas formas eu posso escolher 2 vagas para os meus sinais de "+" ocuparem. Por isso que é a mesma coisa que [tex3]C_{19}^{2}[/tex3] .

Para resto dos bombons o raciocínio é exatamente o mesmo.

Resposta: [tex3]C_{19}^{2}\times C_{17}^{2}\times C_{15}^{2}[/tex3]

Última edição: 314159265 (Seg 06 Mar, 2017 22:14). Total de 3 vezes.



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