Tenho numa gaveta muitos postais de k tipos diferentes. Quero enviar postais a n amigos.
Supondo que tenho k postais diferentes e quero enviar todos os postais, de quantas maneiras o posso fazer (admitindo que cada amigo pode receber entre 0 e k postais)?
Alguém me pode ajudar?
Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória Tópico resolvido
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Análise Combinatória
Última edição: caju (Ter 28 Fev, 2017 17:16). Total de 1 vez.
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28
18:30
Re: Análise Combinatória
Olá ilovemath27,
É uma questão bastante difícil.
Vamos pensar da seguinte forma: se fosse 5 postais para 3 amigos! Representando cada postal pela barrinha "|", poderíamos ter várias combinações, como por exemplo:
[tex3]\boxed{|\,\,|\, +\, |\, +\, |\,\, |}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] primeiro amigo recebeu 2 postais, segundo amigo recebeu 1 postal e terceiro amigo recebeu 2 postais
[tex3]\boxed{|\,\,|\,\,|\,+\,+\,|\,\,|}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] primeiro amigo recebeu 3 postais, segundo amigo recebeu 0 postal e terceiro amigo recebeu 2 postais
[tex3]\boxed{\,\,+\,|\,\,|\,\,|\,\,|\,\,|\,+\,\,}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] primeiro amigo recebeu 0 postal, segundo amigo recebeu 5 postais e terceiro amigo recebeu 0 postal
Veja que podemos ter diversas maneiras de representar as divisões dos postais. A única regra, para este exemplo, é que a soma apresentada tem que ter 5 barrinhas e 2 sinais de soma ("+").
Portanto, para encontrarmos o total de maneiras para este exemplo, basta permutarmos os 7 caracteres (5 barrinhas e 2 sinais de +), e levar em consideração a repetição de 5 barrinhas e repetição de 2 sinais de +. Ficaria assim:
[tex3]P_7^{5,\,2}=\frac{7!}{5!\cdot 2!}=21[/tex3]
Agora, se tivermos [tex3]k[/tex3] postais para dividir entre [tex3]n[/tex3] amigos, teríamos que colocar [tex3]k[/tex3] barrinhas e [tex3](n-1)[/tex3] sinais de [tex3]+[/tex3] . Ficaríamos com:
[tex3]\boxed{\boxed{P_{k+n-1}^{k,\,n-1}=\frac{(k+n-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}}[/tex3]
Grande abraço,
Prof. Caju
É uma questão bastante difícil.
Vamos pensar da seguinte forma: se fosse 5 postais para 3 amigos! Representando cada postal pela barrinha "|", poderíamos ter várias combinações, como por exemplo:
[tex3]\boxed{|\,\,|\, +\, |\, +\, |\,\, |}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] primeiro amigo recebeu 2 postais, segundo amigo recebeu 1 postal e terceiro amigo recebeu 2 postais
[tex3]\boxed{|\,\,|\,\,|\,+\,+\,|\,\,|}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] primeiro amigo recebeu 3 postais, segundo amigo recebeu 0 postal e terceiro amigo recebeu 2 postais
[tex3]\boxed{\,\,+\,|\,\,|\,\,|\,\,|\,\,|\,+\,\,}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] primeiro amigo recebeu 0 postal, segundo amigo recebeu 5 postais e terceiro amigo recebeu 0 postal
Veja que podemos ter diversas maneiras de representar as divisões dos postais. A única regra, para este exemplo, é que a soma apresentada tem que ter 5 barrinhas e 2 sinais de soma ("+").
Portanto, para encontrarmos o total de maneiras para este exemplo, basta permutarmos os 7 caracteres (5 barrinhas e 2 sinais de +), e levar em consideração a repetição de 5 barrinhas e repetição de 2 sinais de +. Ficaria assim:
[tex3]P_7^{5,\,2}=\frac{7!}{5!\cdot 2!}=21[/tex3]
Agora, se tivermos [tex3]k[/tex3] postais para dividir entre [tex3]n[/tex3] amigos, teríamos que colocar [tex3]k[/tex3] barrinhas e [tex3](n-1)[/tex3] sinais de [tex3]+[/tex3] . Ficaríamos com:
[tex3]\boxed{\boxed{P_{k+n-1}^{k,\,n-1}=\frac{(k+n-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}}[/tex3]
Grande abraço,
Prof. Caju
Última edição: caju (Ter 28 Fev, 2017 18:30). Total de 1 vez.
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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Fev 2017
28
18:49
Re: Análise Combinatória
Muito obrigada pela sua resposta! Ajudou-me imenso e está bem explicada! Valeu!
Fev 2017
28
19:09
Re: Análise Combinatória
Acredito que a resposta acima esteja incorreta, pois os postais são diferentes. Não é apenas uma questão de quantos postais cada um recebeu, mas também QUAIS postais.
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Fev 2017
28
19:16
Re: Análise Combinatória
Verdade. Na minha resposta não considerei os postais diferentes.
Com essa consideração fica um pouco mais difícil. Não consegui chegar a um raciocínio...
Fica para os universitários essa
Com essa consideração fica um pouco mais difícil. Não consegui chegar a um raciocínio...
Fica para os universitários essa
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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Fev 2020
27
23:00
Re: Análise Combinatória
Há [tex3]n^k[/tex3]
maneiras de enviar esses postais aos n amigos admitindo que cada amigo pode receber entre 0 e k postais.-
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