Ensino MédioAnálise Combinatória Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
ilovemath27
iniciante
Mensagens: 2
Registrado em: Ter 28 Fev, 2017 16:51
Última visita: 28-02-17
Fev 2017 28 16:57

Análise Combinatória

Mensagem não lida por ilovemath27 »

Tenho numa gaveta muitos postais de k tipos diferentes. Quero enviar postais a n amigos.

Supondo que tenho k postais diferentes e quero enviar todos os postais, de quantas maneiras o posso fazer (admitindo que cada amigo pode receber entre 0 e k postais)?

Alguém me pode ajudar? :?:

Última edição: caju (Ter 28 Fev, 2017 17:16). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
caju
5 - Mestre
Mensagens: 2135
Registrado em: Qui 19 Out, 2006 15:03
Última visita: 27-03-24
Localização: Rio de Janeiro
Contato:
Fev 2017 28 18:30

Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por caju »

Olá ilovemath27,

É uma questão bastante difícil.

Vamos pensar da seguinte forma: se fosse 5 postais para 3 amigos! Representando cada postal pela barrinha "|", poderíamos ter várias combinações, como por exemplo:

[tex3]\boxed{|\,\,|\, +\, |\, +\, |\,\, |}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] primeiro amigo recebeu 2 postais, segundo amigo recebeu 1 postal e terceiro amigo recebeu 2 postais

[tex3]\boxed{|\,\,|\,\,|\,+\,+\,|\,\,|}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] primeiro amigo recebeu 3 postais, segundo amigo recebeu 0 postal e terceiro amigo recebeu 2 postais

[tex3]\boxed{\,\,+\,|\,\,|\,\,|\,\,|\,\,|\,+\,\,}[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] primeiro amigo recebeu 0 postal, segundo amigo recebeu 5 postais e terceiro amigo recebeu 0 postal

Veja que podemos ter diversas maneiras de representar as divisões dos postais. A única regra, para este exemplo, é que a soma apresentada tem que ter 5 barrinhas e 2 sinais de soma ("+").

Portanto, para encontrarmos o total de maneiras para este exemplo, basta permutarmos os 7 caracteres (5 barrinhas e 2 sinais de +), e levar em consideração a repetição de 5 barrinhas e repetição de 2 sinais de +. Ficaria assim:

[tex3]P_7^{5,\,2}=\frac{7!}{5!\cdot 2!}=21[/tex3]

Agora, se tivermos [tex3]k[/tex3] postais para dividir entre [tex3]n[/tex3] amigos, teríamos que colocar [tex3]k[/tex3] barrinhas e [tex3](n-1)[/tex3] sinais de [tex3]+[/tex3] . Ficaríamos com:

[tex3]\boxed{\boxed{P_{k+n-1}^{k,\,n-1}=\frac{(k+n-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

Última edição: caju (Ter 28 Fev, 2017 18:30). Total de 1 vez.


"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

Avatar do usuário
Autor do Tópico
ilovemath27
iniciante
Mensagens: 2
Registrado em: Ter 28 Fev, 2017 16:51
Última visita: 28-02-17
Fev 2017 28 18:49

Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por ilovemath27 »

Muito obrigada pela sua resposta! Ajudou-me imenso e está bem explicada! Valeu!



Avatar do usuário
314159265
2 - Nerd
Mensagens: 384
Registrado em: Qui 23 Fev, 2017 11:48
Última visita: 19-08-20
Fev 2017 28 19:09

Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por 314159265 »

Acredito que a resposta acima esteja incorreta, pois os postais são diferentes. Não é apenas uma questão de quantos postais cada um recebeu, mas também QUAIS postais.



Avatar do usuário
caju
5 - Mestre
Mensagens: 2135
Registrado em: Qui 19 Out, 2006 15:03
Última visita: 27-03-24
Localização: Rio de Janeiro
Contato:
Fev 2017 28 19:16

Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por caju »

Verdade. Na minha resposta não considerei os postais diferentes.

Com essa consideração fica um pouco mais difícil. Não consegui chegar a um raciocínio...

Fica para os universitários essa :)


"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

Avatar do usuário
Angelo12345
iniciante
Mensagens: 3
Registrado em: Qui 27 Fev, 2020 22:49
Última visita: 28-02-20
Fev 2020 27 23:00

Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por Angelo12345 »

Há [tex3]n^k[/tex3] maneiras de enviar esses postais aos n amigos admitindo que cada amigo pode receber entre 0 e k postais.




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Médio”