Ensino Médio ⇒ Módulo de número real

[SCOFIELD]

Considerando que para os números reais a, b e c não nulos tem-se que [tex3]a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1[/tex3]

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[tex3]a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1[/tex3]

o menor valor possível para o número [tex3]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}[/tex3]

é?

R: 9

[LucasPinafi]

1° solução (intuitiva)
[tex3]x^2 + y^2 + z ^2 = 1[/tex3]

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[tex3]x^2 + y^2 + z ^2 = 1[/tex3]

(i)
é, de certa forma, intuitivo pensarmos que 1/x² cresce muito rápido para x tendendo a valores muito pequenos. Assim, tomando números arbitrários para y e z em (i), podemos ter valores arbitrariamente pequenos para x. Raciocinando de forma semelhante para y e z, concluí-se que o mínimo de 1/x² + 1/y² + 1/z² deve ser obtido quando todos os números forem iguais, x = y = z = [tex3]1/\sqrt 3[/tex3]

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[tex3]1/\sqrt 3[/tex3]

. Assim, [tex3]3\cdot (\sqrt 3)^2= 9[/tex3]

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[tex3]3\cdot (\sqrt 3)^2= 9[/tex3]

é o valor mínimo que a expressão pode tomar.
2° solução (rigorosa)
[tex3]g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1[/tex3]

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[tex3]g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1[/tex3]

[tex3]f(x,y,z) = \frac 1 {x^2} + \frac 1 {y^2 } + \frac 1 {z^2}[/tex3]

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[tex3]f(x,y,z) = \frac 1 {x^2} + \frac 1 {y^2 } + \frac 1 {z^2}[/tex3]

[tex3]\begin{cases} \nabla f(x,y,z) = \lambda \nabla g(x,y,z) \\ g(x,y,z) = 0 \end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases} \nabla f(x,y,z) = \lambda \nabla g(x,y,z) \\ g(x,y,z) = 0 \end{cases}[/tex3]

Como [tex3]\nabla f(x,y,z) = - \left( \frac 1 {x^3} \vec i + \frac 1 {y^3} \vec j + \frac{1}{z^3} \vec k \right)[/tex3]

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[tex3]\nabla f(x,y,z) = - \left( \frac 1 {x^3} \vec i + \frac 1 {y^3} \vec j + \frac{1}{z^3} \vec k \right)[/tex3]

[tex3]\nabla g(x,y,z) = x \vec i + y \vec j + z \vec k[/tex3]

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[tex3]\nabla g(x,y,z) = x \vec i + y \vec j + z \vec k[/tex3]

[tex3]\begin{cases} \frac{1}{x^3 } = \lambda x \\ \frac{1}{y^3} = \lambda y \\ \frac 1 {z^3} = \lambda z \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^2 = \sqrt \lambda \\ y^2 = \sqrt \lambda \\ z^2 = \sqrt \lambda \end{cases} \Longleftrightarrow x^2 = y^2 = z^2[/tex3]

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[tex3]\begin{cases} \frac{1}{x^3 } = \lambda x \\ \frac{1}{y^3} = \lambda y \\ \frac 1 {z^3} = \lambda z \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^2 = \sqrt \lambda \\ y^2 = \sqrt \lambda \\ z^2 = \sqrt \lambda \end{cases} \Longleftrightarrow x^2 = y^2 = z^2[/tex3]

como queríamos mostrar.