Ensino MédioMódulo de número real

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
SCOFIELD
Junior
Mensagens: 13
Registrado em: Seg 14 Nov, 2016 22:38
Última visita: 21-05-17
Agradeceu: 5
Agradeceram: 4
Fev 2017 27 20:25

Módulo de número real

Mensagem não lida por SCOFIELD » Seg 27 Fev, 2017 20:25

Considerando que para os números reais a, b e c não nulos tem-se que [tex3]a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1[/tex3] o menor valor possível para o número [tex3]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}[/tex3] é?

R: 9

Última edição: SCOFIELD (Seg 27 Fev, 2017 20:25). Total de 2 vezes.



Avatar do usuário
LucasPinafi
5 - Mestre
Mensagens: 1674
Registrado em: Dom 07 Dez, 2014 00:08
Última visita: 04-11-19
Agradeceu: 355
Agradeceram: 1084
Fev 2017 28 09:46

Re: Módulo de número real

Mensagem não lida por LucasPinafi » Ter 28 Fev, 2017 09:46

1° solução (intuitiva)
[tex3]x^2 + y^2 + z ^2 = 1[/tex3] (i)
é, de certa forma, intuitivo pensarmos que 1/x² cresce muito rápido para x tendendo a valores muito pequenos. Assim, tomando números arbitrários para y e z em (i), podemos ter valores arbitrariamente pequenos para x. Raciocinando de forma semelhante para y e z, concluí-se que o mínimo de 1/x² + 1/y² + 1/z² deve ser obtido quando todos os números forem iguais, x = y = z = [tex3]1/\sqrt 3[/tex3] . Assim, [tex3]3\cdot (\sqrt 3)^2= 9[/tex3] é o valor mínimo que a expressão pode tomar.
2° solução (rigorosa)
[tex3]g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1[/tex3]
[tex3]f(x,y,z) = \frac 1 {x^2} + \frac 1 {y^2 } + \frac 1 {z^2}[/tex3]
[tex3]\begin{cases} \nabla f(x,y,z) = \lambda \nabla g(x,y,z) \\ g(x,y,z) = 0 \end{cases}[/tex3]
Como [tex3]\nabla f(x,y,z) = - \left( \frac 1 {x^3} \vec i + \frac 1 {y^3} \vec j + \frac{1}{z^3} \vec k \right)[/tex3]
[tex3]\nabla g(x,y,z) = x \vec i + y \vec j + z \vec k[/tex3]
[tex3]\begin{cases} \frac{1}{x^3 } = \lambda x \\ \frac{1}{y^3} = \lambda y \\ \frac 1 {z^3} = \lambda z \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x^2 = \sqrt \lambda \\ y^2 = \sqrt \lambda \\ z^2 = \sqrt \lambda \end{cases} \Longleftrightarrow x^2 = y^2 = z^2[/tex3] como queríamos mostrar.

Última edição: LucasPinafi (Ter 28 Fev, 2017 09:46). Total de 1 vez.


Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem Módulo de um número real
    por PatoDaBalada » Ter 17 Jul, 2018 18:02 » em Ensino Médio
    1 Respostas
    225 Exibições
    Última msg por Auto Excluído (ID:20809)
    Ter 17 Jul, 2018 18:23
  • Nova mensagem Módulo de um número real
    por PatoDaBalada » Qua 18 Jul, 2018 09:33 » em Ensino Médio
    1 Respostas
    228 Exibições
    Última msg por fismatpina
    Qua 18 Jul, 2018 13:36
  • Nova mensagem Módulo de um Número Real e Inequações Modulares
    por escpaes » Qui 26 Set, 2019 16:35 » em Ensino Superior
    1 Respostas
    202 Exibições
    Última msg por petras
    Sex 27 Set, 2019 23:18
  • Nova mensagem Funcao real de variavel real
    por Ronny » Sáb 23 Set, 2017 09:26 » em Ensino Médio
    0 Respostas
    501 Exibições
    Última msg por Ronny
    Sáb 23 Set, 2017 09:26
  • Nova mensagem Função real de variável real - IFF 2016
    por Camila123 » Qua 01 Nov, 2017 19:15 » em Concursos Públicos
    1 Respostas
    577 Exibições
    Última msg por petras
    Qua 01 Nov, 2017 19:26

Voltar para “Ensino Médio”