Ensino Médio ⇒ Função do 2° Grau Tópico resolvido

[Salenave]

O conjunto de todos os valores reais de r, para os quais o polinômio (r² -1) x² + 2(r -1)x +1 é positivo, quaisquer que sejam os valores reais de x, é:

[PedroCunha]

Boa noite.

Para uma função do segundo grau qualquer [tex3]f(x) = ax^2 + bx + c, a,b, c \in \mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) = ax^2 + bx + c, a,b, c \in \mathbb{R}[/tex3]

ser positiva para qualquer [tex3]x \in \mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]x \in \mathbb{R}[/tex3]

, duas condições devem ser satisfeitas:

[tex3]\begin{cases} a > 0 \dots I \\ \Delta < 0 \dots II \end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases} a > 0 \dots I \\ \Delta < 0 \dots II \end{cases}[/tex3]

Portanto, na função do enunciado:

[tex3]\begin{cases}

r^2-1 > 0 \Leftrightarrow r < -1 \text{ ou } r > 1 \dots I \\
[2(r-1)]^2 - 4 \cdot (r^2-1) \cdot 1 < 0 \therefore (4r^2-8r+4) - (4r^2-4) < 0 \therefore -8 \cdot (r-1) < 0 \Leftrightarrow r > 1 \dots II

\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}

r^2-1 > 0 \Leftrightarrow r < -1 \text{ ou } r > 1 \dots I \\
[2(r-1)]^2 - 4 \cdot (r^2-1) \cdot 1 < 0 \therefore (4r^2-8r+4) - (4r^2-4) < 0 \therefore -8 \cdot (r-1) < 0 \Leftrightarrow r > 1 \dots II

\end{cases}[/tex3]

Logo, a solução é [tex3]I \,\, \cap \,\ II = \boxed{\boxed{ \{ r \in \mathbb{R} | r > 1 \} }}[/tex3]

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[tex3]I \,\, \cap \,\ II = \boxed{\boxed{ \{ r \in \mathbb{R} | r > 1 \} }}[/tex3]

Alternativa d .

Abraços,
Pedro.