Ensino MédioRegras de Expoentes Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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Autor do Tópico
Auto Excluído (ID:17906)
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Fev 2017 27 13:18

Regras de Expoentes

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) »

Sabendo que [tex3]2.010^{a}=67[/tex3] e [tex3]2.010^{b}=10[/tex3] , o valor de [tex3]201^{\frac{1-a-b}{1-b}}[/tex3] é:

a) 2
b) 3
c) 5
d) 6
e) 67

Última edição: Auto Excluído (ID:17906) (Seg 27 Fev, 2017 13:18). Total de 2 vezes.



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caju
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Fev 2017 27 14:40

Re: Regras de Expoentes

Mensagem não lida por caju »

Olá GuiBernardo,

O objetivo desta questão é você manipular os valores fornecidos ao mesmo tempo que manipula o valor solicitado até chegar num ponto onde eles são bastante iguais. Daí é só substituir um no outro para achar a resposta. O problema é saber quais manipulações são as corretas.

Veja como eu resolvi...

Começamos manipulando o valor solicitado:

[tex3]201^{\frac{1-a-b}{1-b}}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,201^{\frac{1-b-a}{1-b}}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,201^{\frac{1-b}{1-b}-\frac{a}{1-b}}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,201^{1-\frac{a}{1-b}}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\frac{201}{201^{\frac{a}{1-b}}}}\hspace{20pt}{\color{red}\text{(I)}}[/tex3]

Agora vamos manipular os valor fornecidos:

[tex3]2010^{a}=67\,\,\,\Rightarrow\,\,\,(201\cdot 10)^{a}=67\,\,\,\Rightarrow\,\,\,201^{a}\cdot 10^{a}=67\,\,\,\Rightarrow\,\,\,10^{a}=\frac{67}{201^{a}}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{10=\frac{67^{\frac{1}{a}}}{201}}\hspace{20pt}{\color{red}\text{(II)}}[/tex3]

[tex3]2010^{b}=10\,\,\,\Rightarrow\,\,\,201^{b}\cdot 10^{b}=10\,\,\,\Rightarrow\,\,\,201^{b}=10^{1-b}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{10=201^{\frac{b}{1-b}}}\hspace{20pt}{\color{red}\text{(II)}}[/tex3]

Já que as expressões (II) e (III) são iguais a 10, podemos igualá-las:

[tex3]\frac{67^{\frac{1}{a}}}{201}=201^{\frac{b}{1-b}}[/tex3]

[tex3]67^{\frac{1}{a}}=201^{\frac{b}{1-b}}\cdot 201[/tex3]

[tex3]67^{\frac{1}{a}}=201^{\frac{b}{1-b}+1}[/tex3]

[tex3]67^{\frac{1}{a}}=201^{\frac{b+1-b}{1-b}}[/tex3]

[tex3]67^{\frac{1}{a}}=201^{\frac{1}{1-b}}[/tex3]

[tex3]\boxed{67=201^{\frac{a}{1-b}}}\hspace{20pt}{\color{red}\text{(IV)}}[/tex3]

Note que esse valor encontrado em (IV) é exatamente o que aparece em (I). Substituindo (IV) em (I):

[tex3]\frac{201}{67}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{\boxed{3}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

Última edição: caju (Seg 27 Fev, 2017 14:40). Total de 2 vezes.


"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

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Marcos
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Fev 2017 27 20:47

Re: Regras de Expoentes

Mensagem não lida por Marcos »

Olá GuiBernardo e Prof. Caju.Compartilho a solução com os senhores!

Observando que [tex3]2010=2.3.5.67[/tex3] temos [tex3]201=\frac{2010}{10}=\frac{2010}{2010^b}=2010^{1-b}[/tex3] .
Logo,

[tex3]201^\frac{1-a-b}{1-b}=\left(201\right)^\frac{1-a-b}{1-b}=\left(2010^{1 \ - \ b}\right)^\frac{1-a-b}{1-b}=2010^{1-a-b}=\frac{2010}{2010^a.2010^b}=\frac{2010}{67.10}=\boxed{\boxed{3}}[/tex3] .

Resposta: [tex3]3[/tex3] .

Última edição: Marcos (Seg 27 Fev, 2017 20:47). Total de 1 vez.


''Nunca cruze os braços diante dos obstáculos, pois lembre-se que o maior dos Homens morreu de braços abertos.''

Movido de Fórum de Matemática Pré-Vestibular para Ensino Médio em Seg 06 Mar, 2017 12:48 por ALDRIN

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