Ensino Médio

Num triangulo isosceles [tex3]ABC[/tex3] , de base [tex3]BC[/tex3] , as bissectrizes dos angulos [tex3]ABC[/tex3] e [tex3]ACB[/tex3] intersectam-se num ponto [tex3]O[/tex3] . Demonstre que o Angulo [tex3]BOC[/tex3] e igual ao Angulo externo do triangulo, adjacente ao vertice [tex3]B[/tex3] .

Pelo Teorema do Ângulo Externo:

[tex3]m(\beta')=m(\angle{A})+m(\angle{C})[/tex3] , sendo [tex3]\beta'[/tex3] o ângulo externo relativo ao vértice [tex3]B[/tex3] .

Com relação ao [tex3]\triangle{BOC}[/tex3] :

[tex3]m(\angle{O})=180^\circ-\left(\frac{m(\angle{B})}{2}+\frac{m(\angle{C})}{2}\right)[/tex3]

Como [tex3]\angle{B}\equiv\angle{C}[/tex3] ,

[tex3]m(\angle{O})=180^\circ-\left(\frac{m(\angle{B})}{2}+\frac{m(\angle{B})}{2}\right)=180^\circ-m(\angle{B})=m(\angle{A})+m(\angle{C})[/tex3]

Logo,

[tex3]\beta'\equiv\angle{O}[/tex3]

Uma figurinha ajudaria melhor Mestre Csmarcelo!
Obrigado desde ja !! obrigado

Fiz a imagem, mas esqueci de anexar e ainda a sobrescrevi para responder outro tópico.

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Percebi tudo agora !! Muito obrigado. So restou uma pequena duvida, como e que eu posso afirmar que o triangulo BOC e um triangulo isosceles se o enunciado nada falou a cerca dos seus lados ou angulos? Por que por mais que ele tenha aspect de um triangulo isosceles se o enunciado nao nos diz nada, fica meio complicado nos assumirmos algo que nao nos foi avisado no enunciado como hipotese, so sabemos que o triangulo ABC e isosceles, ou ha alguma propriedade que me esta escapando entre o triangulo isosceles e a bissetriz, que possa afirmar tal coisa?

Grato pela atencao e paciencia Mestre.

[tex3]\angle{OBC}[/tex3] e [tex3]\angle{OCB}[/tex3] possuem a metade da medida dos ângulos [tex3]\angle{ABC}[/tex3] e [tex3]\angle{ACB}[/tex3] , respectivamente, mas esses últimos possuem a mesma medida, visto que são os ângulos adjacentes à base do triângulo isósceles [tex3]\triangle{ABC}[/tex3] . Logo [tex3]\angle{OBC}[/tex3] e [tex3]\angle{OCB}[/tex3] também são congruentes.

E justo eu afirmar que se tracamos bissectrizes em relacao a base( seja a base pelo vertice A e B) de um triangulo isosceles, teremos a formacao de um Segundo triangulo isosceles?

Com certeza. O que caracteriza o triângulo isósceles é justamente a existência de, pelo menos, dois ângulos congruentes (sim, todo triângulo equilátero também é isósceles).

Se traçarmos as bissetrizes dos dois ângulos congruentes de um triângulo isósceles, formaremos um novo triângulo, de mesma base do primeiro, cujos ângulos adjacentes medirão [tex3]\frac{x}{2}[/tex3] , logo, esse novo triângulo também será isósceles.

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