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Geometria Plana-Demonstracao
Enviado: Seg 27 Fev, 2017 13:10
por Cientista
Num triangulo isosceles [tex3]ABC[/tex3]
, de base [tex3]BC[/tex3]
, as bissectrizes dos angulos [tex3]ABC[/tex3]
e [tex3]ACB[/tex3]
intersectam-se num ponto [tex3]O[/tex3]
. Demonstre que o Angulo [tex3]BOC[/tex3]
e igual ao Angulo externo do triangulo, adjacente ao vertice [tex3]B[/tex3]
.
Re: Geometria Plana-Demonstracao
Enviado: Seg 27 Fev, 2017 17:57
por csmarcelo
Pelo Teorema do Ângulo Externo:
[tex3]m(\beta')=m(\angle{A})+m(\angle{C})[/tex3]
, sendo [tex3]\beta'[/tex3]
o ângulo externo relativo ao vértice [tex3]B[/tex3]
.
Com relação ao [tex3]\triangle{BOC}[/tex3]
:
[tex3]m(\angle{O})=180^\circ-\left(\frac{m(\angle{B})}{2}+\frac{m(\angle{C})}{2}\right)[/tex3]
Como [tex3]\angle{B}\equiv\angle{C}[/tex3]
,
[tex3]m(\angle{O})=180^\circ-\left(\frac{m(\angle{B})}{2}+\frac{m(\angle{B})}{2}\right)=180^\circ-m(\angle{B})=m(\angle{A})+m(\angle{C})[/tex3]
Logo,
[tex3]\beta'\equiv\angle{O}[/tex3]
Re: Geometria Plana-Demonstracao
Enviado: Seg 27 Fev, 2017 18:52
por Cientista
Uma figurinha ajudaria melhor Mestre Csmarcelo!
Obrigado desde ja !! obrigado
Re: Geometria Plana-Demonstracao
Enviado: Seg 27 Fev, 2017 19:30
por csmarcelo
Fiz a imagem, mas esqueci de anexar e ainda a sobrescrevi para responder outro tópico.
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Re: Geometria Plana-Demonstracao
Enviado: Qua 01 Mar, 2017 20:05
por Cientista
Percebi tudo agora !! Muito obrigado. So restou uma pequena duvida, como e que eu posso afirmar que o triangulo BOC e um triangulo isosceles se o enunciado nada falou a cerca dos seus lados ou angulos? Por que por mais que ele tenha aspect de um triangulo isosceles se o enunciado nao nos diz nada, fica meio complicado nos assumirmos algo que nao nos foi avisado no enunciado como hipotese, so sabemos que o triangulo ABC e isosceles, ou ha alguma propriedade que me esta escapando entre o triangulo isosceles e a bissetriz, que possa afirmar tal coisa?
Grato pela atencao e paciencia Mestre.
Re: Geometria Plana-Demonstracao
Enviado: Qua 01 Mar, 2017 21:07
por csmarcelo
[tex3]\angle{OBC}[/tex3]
e [tex3]\angle{OCB}[/tex3]
possuem a metade da medida dos ângulos [tex3]\angle{ABC}[/tex3]
e [tex3]\angle{ACB}[/tex3]
, respectivamente, mas esses últimos possuem a mesma medida, visto que são os ângulos adjacentes à base do triângulo isósceles [tex3]\triangle{ABC}[/tex3]
. Logo [tex3]\angle{OBC}[/tex3]
e [tex3]\angle{OCB}[/tex3]
também são congruentes.
Re: Geometria Plana-Demonstracao
Enviado: Qui 02 Mar, 2017 10:47
por Cientista
E justo eu afirmar que se tracamos bissectrizes em relacao a base( seja a base pelo vertice A e B) de um triangulo isosceles, teremos a formacao de um Segundo triangulo isosceles?
Re: Geometria Plana-Demonstracao
Enviado: Qui 02 Mar, 2017 13:25
por csmarcelo
Com certeza. O que caracteriza o triângulo isósceles é justamente a existência de, pelo menos, dois ângulos congruentes (sim, todo triângulo equilátero também é isósceles).
Se traçarmos as bissetrizes dos dois ângulos congruentes de um triângulo isósceles, formaremos um novo triângulo, de mesma base do primeiro, cujos ângulos adjacentes medirão [tex3]\frac{x}{2}[/tex3]
, logo, esse novo triângulo também será isósceles.