Ensino Médio ⇒ Polinômios Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:17906)]

Sabendo que [tex3]\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = \frac{2.008}{2.009}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = \frac{2.008}{2.009}[/tex3]

, o valor de [tex3]\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a}[/tex3]

é igual a:

[Marcos]

Olá GuiBernardo.Observe a solução:

Seja [tex3]\begin{cases}
x=a+b, \\
y=b+c \ , \ e\\
z=a+c.
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
x=a+b, \\
y=b+c \ , \ e\\
z=a+c.
\end{cases}[/tex3]

.

Então [tex3]\frac{2008}{2009}=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{(z-y)(y-x)(x-z)}{xyz}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2008}{2009}=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{(z-y)(y-x)(x-z)}{xyz}[/tex3]

e daí
[tex3]\frac{(z-y)(y-x)(x-z)}{xyz}=\frac{(z-y)(xy-x^2-yz+xz)}{xyz}=\frac{xyz-x^2z-yz^2+xz^2-xy^2+x^2y+y^2z-xyz}{xyz}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(z-y)(y-x)(x-z)}{xyz}=\frac{(z-y)(xy-x^2-yz+xz)}{xyz}=\frac{xyz-x^2z-yz^2+xz^2-xy^2+x^2y+y^2z-xyz}{xyz}=[/tex3]

[tex3]=\frac{yz(y-z)+xz(z-x)+xy(x-y)}{xyz}=\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}+\frac{x-y}{z}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=\frac{yz(y-z)+xz(z-x)+xy(x-y)}{xyz}=\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}+\frac{x-y}{z}[/tex3]

.

[tex3]\boxed{\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}+\frac{x-y}{z}=\frac{(z-y)(y-x)(x-z)}{xyz}=\frac{2008}{2009}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}+\frac{x-y}{z}=\frac{(z-y)(y-x)(x-z)}{xyz}=\frac{2008}{2009}}[/tex3]

Agora, [tex3]\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{x-y+z}{2x}+\frac{y-z+x}{2y}+\frac{z-x+y}{2z}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{x-y+z}{2x}+\frac{y-z+x}{2y}+\frac{z-x+y}{2z}=[/tex3]

[tex3]=\left(\frac{1}{2}-\frac{y-z}{2x}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{z-x}{2y}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{x-y}{2z}\right)=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=\left(\frac{1}{2}-\frac{y-z}{2x}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{z-x}{2y}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{x-y}{2z}\right)=[/tex3]

[tex3]=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left[\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}+\frac{x-y}{z}\right]=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left[\frac{(z-y)(y-x)(x-z)}{xyz}\right]=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left[\frac{2008}{2009}\right]=\boxed{\boxed{\frac{4019}{4018}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left[\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}+\frac{x-y}{z}\right]=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left[\frac{(z-y)(y-x)(x-z)}{xyz}\right]=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left[\frac{2008}{2009}\right]=\boxed{\boxed{\frac{4019}{4018}}}[/tex3]

.

Resposta: [tex3]\frac{4019}{4018}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4019}{4018}[/tex3]

.