Ensino Médio ⇒ Função composta e Inversa Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2017
23
13:51
Função composta e Inversa
Sejam as funções f : R+ [tex3]\rightarrow[/tex3]
[-3,+[tex3]\infty[[/tex3]
e g R+[tex3]\rightarrow[/tex3]
[2, +[tex3]\infty [[/tex3]
: , definidas respectivamente por f(x)= 3x² -3 e g(x) = 2x²+2. Se h(x) = g(f(x)), então o valor de [tex3]h^{-1}(10)[/tex3]
, onde [tex3]h^{-1}(x)[/tex3]
é a função inversa de h(x) é : (R: [tex3]\frac{\sqrt{15}}{3}[/tex3]
)
Última edição: petras (Qui 23 Fev, 2017 13:51). Total de 1 vez.
Fev 2017
23
15:45
Re: Função composta e Inversa
Petras,
Quanto ficaria h(x)?
h(x) = 2(3x²-3)²+2
Pra fazer a inversa disso, eu troco o x pelo y, correto? Então a função inversa de h(x) fica assim:
x = 2(3y²-3)²+2
E ele quer saber qual o valor de y quando o x da função inversa é 10, ou seja:
10 = 2(3y²-3)²+2
Resolvendo isso você vai achar:
y^4-2y²+1 = 4/9
Aí você chama y² de n e acha uma equação do segundo grau:
n² - 2n + 5/9 = 0
Delta = 16/9
Raízes: 5/3 e 1/3
Agora você deve pegar cada raiz dessa e voltar na equação y² = n, pois você quer x e não n.
y² = 5/3
y = +- raiz(15)/3
y² = 1/3
y = +- raiz(3)/3
Beleza, tenho 4 raízes. Todas elas são resposta? Não! Por que não? Porque a imagem da inversa de h(x) nada mais é do que o domínio de h(x), que é a interseção entre a imagem de f(x) e o domínio de g(x), que é R+. Então pra mim a resposta pode ser tanto raiz(15)/3 quanto raiz(3)/3.
Pode ser que eu esteja errado, já que você só deu uma resposta. Se for o caso gostaria que alguém me explicasse qual o erro. Espero que tenha ajudado de alguma forma.
Quanto ficaria h(x)?
h(x) = 2(3x²-3)²+2
Pra fazer a inversa disso, eu troco o x pelo y, correto? Então a função inversa de h(x) fica assim:
x = 2(3y²-3)²+2
E ele quer saber qual o valor de y quando o x da função inversa é 10, ou seja:
10 = 2(3y²-3)²+2
Resolvendo isso você vai achar:
y^4-2y²+1 = 4/9
Aí você chama y² de n e acha uma equação do segundo grau:
n² - 2n + 5/9 = 0
Delta = 16/9
Raízes: 5/3 e 1/3
Agora você deve pegar cada raiz dessa e voltar na equação y² = n, pois você quer x e não n.
y² = 5/3
y = +- raiz(15)/3
y² = 1/3
y = +- raiz(3)/3
Beleza, tenho 4 raízes. Todas elas são resposta? Não! Por que não? Porque a imagem da inversa de h(x) nada mais é do que o domínio de h(x), que é a interseção entre a imagem de f(x) e o domínio de g(x), que é R+. Então pra mim a resposta pode ser tanto raiz(15)/3 quanto raiz(3)/3.
Pode ser que eu esteja errado, já que você só deu uma resposta. Se for o caso gostaria que alguém me explicasse qual o erro. Espero que tenha ajudado de alguma forma.
Fev 2017
23
15:57
Re: Função composta e Inversa
[tex3]h(x)=g(f(x))[/tex3]
[tex3]h(x)=2(3x^2-3)^2+2[/tex3]
[tex3]h(x)=18x^4-36x^2+20[/tex3]
Fazendo [tex3]q=x^2[/tex3] ,
[tex3]h(q)=18q^2-36q+20[/tex3]
-------------------------------------
Por definição,
Se [tex3]f(a)=b[/tex3] , então [tex3]f'(b)=a[/tex3] .
Seguindo esse raciocínio,
Se [tex3]h'(10)=q[/tex3] , então [tex3]h(q)=10[/tex3] .
-------------------------------------
[tex3]18q^2-36q+20=10[/tex3]
[tex3]q_1=\frac{1}{3}[/tex3]
[tex3]q_2=\frac{5}{3}[/tex3]
Daí,
[tex3]x_1=\pm\sqrt{\frac{1}{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]
[tex3]x_2=\pm\sqrt{\frac{5}{3}}=\pm\frac{\sqrt{15}}{3}[/tex3]
-------------------------------------
Sobre funções compostas:
[tex3]D(gof)=D(f)[/tex3]
[tex3]Im(gof)=Im(g)[/tex3]
[tex3]\exists{gof}\rightarrow Im(f)\subset D(g)[/tex3]
Sobre funções inversas:
[tex3]D(f)=Im(f')[/tex3]
[tex3]Im(f)=D(f')[/tex3]
-------------------------------------
Com isso em mente, a princípio,
[tex3]Im(h')=D(h)=D(f)\rightarrow Im(h')=\ [0,+\infty[[/tex3]
Mas, para atender a condição [tex3]\exists{gof}\rightarrow Im(f)\subset D(g)[/tex3] das funções compostas, devemos ter
[tex3]f(x)>0\rightarrow x>1\rightarrow Im(h')=\ [1,+\infty[[/tex3] .
Logo, a única opção válida é [tex3]\frac{\sqrt{15}}{3}[/tex3] .
[tex3]h(x)=2(3x^2-3)^2+2[/tex3]
[tex3]h(x)=18x^4-36x^2+20[/tex3]
Fazendo [tex3]q=x^2[/tex3] ,
[tex3]h(q)=18q^2-36q+20[/tex3]
-------------------------------------
Por definição,
Se [tex3]f(a)=b[/tex3] , então [tex3]f'(b)=a[/tex3] .
Seguindo esse raciocínio,
Se [tex3]h'(10)=q[/tex3] , então [tex3]h(q)=10[/tex3] .
-------------------------------------
[tex3]18q^2-36q+20=10[/tex3]
[tex3]q_1=\frac{1}{3}[/tex3]
[tex3]q_2=\frac{5}{3}[/tex3]
Daí,
[tex3]x_1=\pm\sqrt{\frac{1}{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]
[tex3]x_2=\pm\sqrt{\frac{5}{3}}=\pm\frac{\sqrt{15}}{3}[/tex3]
-------------------------------------
Sobre funções compostas:
[tex3]D(gof)=D(f)[/tex3]
[tex3]Im(gof)=Im(g)[/tex3]
[tex3]\exists{gof}\rightarrow Im(f)\subset D(g)[/tex3]
Sobre funções inversas:
[tex3]D(f)=Im(f')[/tex3]
[tex3]Im(f)=D(f')[/tex3]
-------------------------------------
Com isso em mente, a princípio,
[tex3]Im(h')=D(h)=D(f)\rightarrow Im(h')=\ [0,+\infty[[/tex3]
Mas, para atender a condição [tex3]\exists{gof}\rightarrow Im(f)\subset D(g)[/tex3] das funções compostas, devemos ter
[tex3]f(x)>0\rightarrow x>1\rightarrow Im(h')=\ [1,+\infty[[/tex3] .
Logo, a única opção válida é [tex3]\frac{\sqrt{15}}{3}[/tex3] .
Última edição: csmarcelo (Qui 23 Fev, 2017 15:57). Total de 2 vezes.
Fev 2017
23
17:46
Re: Função composta e Inversa
Ótima resolução CSmarcelo, grato, e também ao "314159265".
Mar 2017
30
10:51
Re: Função composta e Inversa
Csmarcelo revendo sua resolução tenho algumas dúvidas:
1)
"[tex3]Im(h')=D(h)=D(f)\rightarrow Im(h')=\ ]0,+\infty[[/tex3] "
Se D(f) = [tex3]R_{+}[/tex3] por que excluiu o 0 do intervalo ]0, +[tex3]\infty[[/tex3] ?
2)
"Mas, para atender a condição ∃gof→Im(f)⊂D(g) das funções compostas, devemos ter f(x)>0→x>1→Im(h′)= ]1,+∞["
Se Im(f) = [-3,[tex3]\infty[/tex3] ] [tex3]\subset[/tex3] D(g)=[0,[tex3]\infty][/tex3] não seria f(x) [tex3]\geq[/tex3] 0 [tex3]\rightarrow x\geq 1 \rightarrow[/tex3] Im(h')=[1,[tex3]\infty [[/tex3] , ou seja, o 0 tamém poderia estar contido no D(g)?
Desde já grato pela atenção.
1)
"[tex3]Im(h')=D(h)=D(f)\rightarrow Im(h')=\ ]0,+\infty[[/tex3] "
Se D(f) = [tex3]R_{+}[/tex3] por que excluiu o 0 do intervalo ]0, +[tex3]\infty[[/tex3] ?
2)
"Mas, para atender a condição ∃gof→Im(f)⊂D(g) das funções compostas, devemos ter f(x)>0→x>1→Im(h′)= ]1,+∞["
Se Im(f) = [-3,[tex3]\infty[/tex3] ] [tex3]\subset[/tex3] D(g)=[0,[tex3]\infty][/tex3] não seria f(x) [tex3]\geq[/tex3] 0 [tex3]\rightarrow x\geq 1 \rightarrow[/tex3] Im(h')=[1,[tex3]\infty [[/tex3] , ou seja, o 0 tamém poderia estar contido no D(g)?
Desde já grato pela atenção.
Última edição: petras (Qui 30 Mar, 2017 10:51). Total de 1 vez.
Mar 2017
30
13:05
Re: Função composta e Inversa
Petras,
Em ambos os casos eu errei. Interpretei incorretamente [tex3]\mathbb{R}^+[/tex3] como "conjunto dos números reais positivos".
Corrigido.
Em ambos os casos eu errei. Interpretei incorretamente [tex3]\mathbb{R}^+[/tex3] como "conjunto dos números reais positivos".
Corrigido.
Última edição: csmarcelo (Qui 30 Mar, 2017 13:05). Total de 2 vezes.
Jun 2022
10
14:43
Re: Função composta e Inversa
Nossa essas resoluções acho muito complicada de serem entendidas por texto, e esta questão é muito antiga...
Até a parte do calculo das 4 raízes possíveis eu entendi, porém quando chegou na análise do domínio já não entendi mais nada
Até a parte do calculo das 4 raízes possíveis eu entendi, porém quando chegou na análise do domínio já não entendi mais nada
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