Ensino Médio ⇒ Combinatória com Repetição
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2017
23
12:30
Combinatória com Repetição
Pessoal,
É um problema clássico de escolha de sorvetes, porém com um pequeno detalhe.
Eu vou a uma sorveteria escolher um sorvete de 3 bolas. São 5 sabores disponíveis. O problema é que eu só posso repetir (quantas vezes eu quiser) apenas um dos sabores! De quantas formas eu posso escolher meu sorvete?
Agradeço a ajuda.
É um problema clássico de escolha de sorvetes, porém com um pequeno detalhe.
Eu vou a uma sorveteria escolher um sorvete de 3 bolas. São 5 sabores disponíveis. O problema é que eu só posso repetir (quantas vezes eu quiser) apenas um dos sabores! De quantas formas eu posso escolher meu sorvete?
Agradeço a ajuda.
Fev 2017
23
20:30
Re: Combinatória com Repetição
o total de combinações em que os tres sabores são diferentes será
[tex3]C_{3}^{5}=\frac{5!}{3!2!}=10[/tex3]
as combinações em que temos o sabor repetido são quatro, duas bolas do sabor repetido e uma bola de um dos outros quatro sabores
e temos ainda a combinações em que as três bolas são do mesmo sabor
sendo assim o total será
[tex3]10+4+1=15[/tex3]
[tex3]C_{3}^{5}=\frac{5!}{3!2!}=10[/tex3]
as combinações em que temos o sabor repetido são quatro, duas bolas do sabor repetido e uma bola de um dos outros quatro sabores
e temos ainda a combinações em que as três bolas são do mesmo sabor
sendo assim o total será
[tex3]10+4+1=15[/tex3]
Última edição: jedi (Qui 23 Fev, 2017 20:30). Total de 1 vez.
Fev 2017
23
20:34
Re: Combinatória com Repetição
Tudo bem, mas você só conseguiu resolver porque foram poucas bolas e poucos sabores. E se os números fossem maiores, como por exemplo 8 bolas e 12 sabores?
Fev 2017
23
20:43
Re: Combinatória com Repetição
ai você dependeria de quantos sabores você pode repetir e de quantas formas, dependendo do caso problema pode ser bem complexo e precisar de vários cálculos.
por exemplo se fosse 12 para escolher 8 podendo repetir uma quantas vezes eu quisesse eu teria que fazer
não repetindo nenhuma
[tex3]C_{8}^{12}[/tex3]
repetindo 1 vez
[tex3]C_{6}^{11}[/tex3]
repetindo 2 vezes
[tex3]C_{5}^{11}[/tex3]
repetindo 3 vezes
[tex3]C_{4}^{11}[/tex3]
e assim por diante até repetindo todas que seria igual a 1
o número total de combinações seria a soma de todas essas
por exemplo se fosse 12 para escolher 8 podendo repetir uma quantas vezes eu quisesse eu teria que fazer
não repetindo nenhuma
[tex3]C_{8}^{12}[/tex3]
repetindo 1 vez
[tex3]C_{6}^{11}[/tex3]
repetindo 2 vezes
[tex3]C_{5}^{11}[/tex3]
repetindo 3 vezes
[tex3]C_{4}^{11}[/tex3]
e assim por diante até repetindo todas que seria igual a 1
o número total de combinações seria a soma de todas essas
Última edição: jedi (Qui 23 Fev, 2017 20:43). Total de 1 vez.
Fev 2017
24
07:55
Re: Combinatória com Repetição
Entendi. Então não existe atalho pra isso. Tem que fazer de forma braçal mesmo.
Fev 2017
24
09:22
Re: Combinatória com Repetição
Houve apenas um equívoco na resolução. A resposta é 35.
[tex3]C^5_3=10[/tex3] , três bolas de sabores diferentes.
[tex3]2\cdot C^5_2=20[/tex3] , três bolas, sendo duas do mesmo sabor.
[tex3]C^5_1=5[/tex3] , três bolas do mesmo sabor.
[tex3]C^5_3=10[/tex3] , três bolas de sabores diferentes.
[tex3]2\cdot C^5_2=20[/tex3] , três bolas, sendo duas do mesmo sabor.
[tex3]C^5_1=5[/tex3] , três bolas do mesmo sabor.
Última edição: csmarcelo (Sex 24 Fev, 2017 09:22). Total de 1 vez.
Fev 2017
24
12:51
Re: Combinatória com Repetição
Marcelo, acho que sua resolução está errada, não?
Você tá considerando que qualquer sabor pode se repetir. Eu disse que apenas um deles pode se repetir. Se os sabores forem A, B, C, D ou E, somente o A poderia se repetir, por exemplo. Ou somente o B, somente o C...
Acho que você entendeu que eu só posso repetir um, independentemente de qual seja. Mas isso não precisaria ser informado já que só são 3 sabores e só há a possibilidade de um sabor se repetir.
Você tá considerando que qualquer sabor pode se repetir. Eu disse que apenas um deles pode se repetir. Se os sabores forem A, B, C, D ou E, somente o A poderia se repetir, por exemplo. Ou somente o B, somente o C...
Acho que você entendeu que eu só posso repetir um, independentemente de qual seja. Mas isso não precisaria ser informado já que só são 3 sabores e só há a possibilidade de um sabor se repetir.
Fev 2017
24
12:55
Re: Combinatória com Repetição
Se eu mudasse o problema pra 6 sabores (A, B, C, D, E, F) e um sorvete de 4 bolas, de quantas formas eu poderia escolher meu sorvete se só os sabores B e E pudessem se repetir?
Fev 2017
24
17:34
Re: Combinatória com Repetição
Entendi. Mas, pelo que você falou, essa interpretação é possível, não?
Nenhuma bola repetida
[tex3]C^6_4=15[/tex3]
Duas bolas do mesmo sabor
[tex3]2\cdot C^5_2=10[/tex3]
Três bolas do mesmo sabor
[tex3]2\cdot C^5_1=5[/tex3]
Quatro bolas do mesmo sabor
[tex3]2\cdot C^5_0=1[/tex3]
Creio que seja isso...
De quais sabores estamos falando? Dos disponíveis (5) ou dos que você escolheu (3)?O problema é que eu só posso repetir (quantas vezes eu quiser) apenas um dos sabores!
Seguindo a sua interpretação:Se eu mudasse o problema pra 6 sabores (A, B, C, D, E, F) e um sorvete de 4 bolas,...
Nenhuma bola repetida
[tex3]C^6_4=15[/tex3]
Duas bolas do mesmo sabor
[tex3]2\cdot C^5_2=10[/tex3]
Três bolas do mesmo sabor
[tex3]2\cdot C^5_1=5[/tex3]
Quatro bolas do mesmo sabor
[tex3]2\cdot C^5_0=1[/tex3]
Creio que seja isso...
Última edição: csmarcelo (Sex 24 Fev, 2017 17:34). Total de 1 vez.
Fev 2017
24
17:45
Re: Combinatória com Repetição
Marcelo, não estou conseguindo seguir seu raciocínio. Pode explicar o que está por trás das fórmulas?
Só entendi a primeira, que seria sem repetições.
E o resto?
Eu vou escolher apenas 4 bolas pro meu sorvete e são 6 sabores disponíveis. Eu posso repetir ou não. Se eu quiser repetir, as únicas que o sorveteiro me permite são os sabores B e E. Foi isso mesmo que você calculou? Se sim, por favor me ajuda a entender.
Só entendi a primeira, que seria sem repetições.
E o resto?
Eu vou escolher apenas 4 bolas pro meu sorvete e são 6 sabores disponíveis. Eu posso repetir ou não. Se eu quiser repetir, as únicas que o sorveteiro me permite são os sabores B e E. Foi isso mesmo que você calculou? Se sim, por favor me ajuda a entender.
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