Se [tex3]x^{x-\sqrt{x}}=\sqrt{x}+1[/tex3]
, calcule o valor de [tex3]x+\frac{1}{x}[/tex3]
.
(A) [tex3]\sqrt{9}[/tex3]
(B) [tex3]-\sqrt{2}[/tex3]
(C) [tex3]2\sqrt{2}[/tex3]
(D) [tex3]-2\sqrt{2}[/tex3]
(E) [tex3]2[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Álgebra Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mar 2017
03
23:28
Re: Álgebra
Compartilho a solução do colega "fantecele88"
[tex3]\ x^{x - \sqrt{x}} = \sqrt{x} + 1 \rightarrow x^{x - \sqrt{x}} = \frac{1-x}{1-\sqrt{x}}\rightarrow 1=\frac{(x^{-x+\sqrt{x}+1})}{(1-\sqrt{x})}[/tex3]
[tex3]\ x^{\sqrt{x}-x}-x^{(-x+\sqrt{x}+1)}-1+\sqrt{x}=0\rightarrow k=x^{(-x+\sqrt{x}+1)}[/tex3]
[tex3]\left(\frac{k}{x}\right)-k-1+\sqrt{x}=0\rightarrow k-kx-x+x\sqrt{x}=0 \rightarrow z=\sqrt{x}[/tex3]
[tex3]k-kz^2-z^2+z\cdot z^2=0\rightarrow z^3-z^2(k+1)+k=0 \rightarrow (z-1)(z^2-kz-k)=0[/tex3]
[tex3]z^2-kz-k=0 \rightarrow z = k\left(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\right)[/tex3]
[tex3]\text{Para }z = k\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \rightarrow \sqrt{x}=x^{(\sqrt{x}-x+1)}\cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}\rightarrow x^{x-\sqrt{x}-0,5}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \ \text{mas }x^{x-\sqrt{x}}=\sqrt{x}+1 \rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{x^{x-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \rightarrow \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\rightarrow x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}[/tex3]
[tex3]x+\frac{1}{x}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{{2}}{3+\sqrt{5}}=\frac{18+6\sqrt{5}}{2\cdot (3+\sqrt{5})}=\frac{6(3+\sqrt{5})}{2\cdot (3+\sqrt{5})}\rightarrow x+\frac{1}{x}=3[/tex3]
Para o outro valor de [tex3]z[/tex3] iremos encontrar [tex3]\sqrt{x} < 0[/tex3] (Não atende)
E para [tex3]z = 1[/tex3] não encontraremos valor de [tex3]x[/tex3] que satisfaça a equação.
Resposta Letra A
[tex3]\ x^{x - \sqrt{x}} = \sqrt{x} + 1 \rightarrow x^{x - \sqrt{x}} = \frac{1-x}{1-\sqrt{x}}\rightarrow 1=\frac{(x^{-x+\sqrt{x}+1})}{(1-\sqrt{x})}[/tex3]
[tex3]\ x^{\sqrt{x}-x}-x^{(-x+\sqrt{x}+1)}-1+\sqrt{x}=0\rightarrow k=x^{(-x+\sqrt{x}+1)}[/tex3]
[tex3]\left(\frac{k}{x}\right)-k-1+\sqrt{x}=0\rightarrow k-kx-x+x\sqrt{x}=0 \rightarrow z=\sqrt{x}[/tex3]
[tex3]k-kz^2-z^2+z\cdot z^2=0\rightarrow z^3-z^2(k+1)+k=0 \rightarrow (z-1)(z^2-kz-k)=0[/tex3]
[tex3]z^2-kz-k=0 \rightarrow z = k\left(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\right)[/tex3]
[tex3]\text{Para }z = k\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \rightarrow \sqrt{x}=x^{(\sqrt{x}-x+1)}\cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}\rightarrow x^{x-\sqrt{x}-0,5}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \ \text{mas }x^{x-\sqrt{x}}=\sqrt{x}+1 \rightarrow[/tex3]
[tex3]\frac{x^{x-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \rightarrow \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\rightarrow x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}[/tex3]
[tex3]x+\frac{1}{x}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{{2}}{3+\sqrt{5}}=\frac{18+6\sqrt{5}}{2\cdot (3+\sqrt{5})}=\frac{6(3+\sqrt{5})}{2\cdot (3+\sqrt{5})}\rightarrow x+\frac{1}{x}=3[/tex3]
Para o outro valor de [tex3]z[/tex3] iremos encontrar [tex3]\sqrt{x} < 0[/tex3] (Não atende)
E para [tex3]z = 1[/tex3] não encontraremos valor de [tex3]x[/tex3] que satisfaça a equação.
Resposta Letra A
Última edição: petras (Sex 03 Mar, 2017 23:28). Total de 4 vezes.
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caju
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16
11:42
Re: Álgebra
Show de bola essa resolução! Parabéns ao colega fantecele88 
Só gostaria de arrumar a primeira passagem, pois houve um erro de digitação que pode atrapalhar o entendimento do restante. O erro está na parte vermelha abaixo:
[tex3]x^{x - \sqrt{x}} = \sqrt{x} + 1 \,\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,\, x^{x - \sqrt{x}} = \frac{1-x}{1-\sqrt{x}}\,\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\,{\color{red}\mathbf{1=\frac{(x^{-x+\sqrt{x}+1})}{(1-\sqrt{x})}}}[/tex3]
O correto seria:
[tex3]x^{x - \sqrt{x}} = \sqrt{x} + 1 \,\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\,x^{x - \sqrt{x}} = \frac{1-x}{1-\sqrt{x}}\,\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\,{\color{green}\mathbf{1=\frac{x^{-x+\sqrt{x}}-x^{-x+\sqrt{x}+1}}{1-\sqrt{x}}}}[/tex3]
O restante da resolução está de acordo com a passagem correta. Ou seja, foi apenas um erro de digitação do colega, e não um erro na resolução (que está impecável!).
E, apenas para deixar mais claro estas duas passagens indicadas acima (pois acho que são as mais difíceis da resolução e foram colocadas muito rapidamente na explicação)
[tex3]x^{x - \sqrt{x}} = \sqrt{x} + 1[/tex3]
Primeira passagem - Começamos "desracionalizando" a parte direita da equação, multiplicando e dividindo por [tex3]1-\sqrt{x}[/tex3]
[tex3]x^{x - \sqrt{x}} = (\sqrt{x} + 1)\cdot\frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}[/tex3]
[tex3]x^{x - \sqrt{x}} = \frac{(1+\sqrt{x})\cdot(1-\sqrt{x})}{1-\sqrt{x}}[/tex3]
[tex3]x^{x - \sqrt{x}} = \frac{1-x}{1-\sqrt{x}}[/tex3]
Segunda passagem - Dividimos ambos os lados da equação por [tex3]x^{x-\sqrt{x}}[/tex3]
[tex3]\frac{x^{x - \sqrt{x}}}{x^{x-\sqrt{x}}} = \frac{\frac{1-x}{1-\sqrt{x}}}{x^{x-\sqrt{x}}}[/tex3]
[tex3]1 = \frac{\frac{1}{x^{x-\sqrt{x}}}-\frac{x}{x^{x-\sqrt{x}}}}{1-\sqrt{x}}[/tex3]
Passando os elementos que estão nos denominadores da parte direita da equação para o numerador, trocando o sinal de seus expoentes:
[tex3]1 = \frac{x^{-x+\sqrt{x}}-x\cdot(x^{-x+\sqrt{x}})}{1-\sqrt{x}}[/tex3]
[tex3]1 = \frac{x^{-x+\sqrt{x}}-x^{1-x+\sqrt{x}}}{1-\sqrt{x}}[/tex3]
[tex3]\ldots[/tex3]
Agora é só continuar com a resolução do colega.
Grande abraço,
Prof. Caju
Só gostaria de arrumar a primeira passagem, pois houve um erro de digitação que pode atrapalhar o entendimento do restante. O erro está na parte vermelha abaixo:
[tex3]x^{x - \sqrt{x}} = \sqrt{x} + 1 \,\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,\, x^{x - \sqrt{x}} = \frac{1-x}{1-\sqrt{x}}\,\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\,{\color{red}\mathbf{1=\frac{(x^{-x+\sqrt{x}+1})}{(1-\sqrt{x})}}}[/tex3]
O correto seria:
[tex3]x^{x - \sqrt{x}} = \sqrt{x} + 1 \,\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\,x^{x - \sqrt{x}} = \frac{1-x}{1-\sqrt{x}}\,\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\,{\color{green}\mathbf{1=\frac{x^{-x+\sqrt{x}}-x^{-x+\sqrt{x}+1}}{1-\sqrt{x}}}}[/tex3]
O restante da resolução está de acordo com a passagem correta. Ou seja, foi apenas um erro de digitação do colega, e não um erro na resolução (que está impecável!).
E, apenas para deixar mais claro estas duas passagens indicadas acima (pois acho que são as mais difíceis da resolução e foram colocadas muito rapidamente na explicação)
[tex3]x^{x - \sqrt{x}} = \sqrt{x} + 1[/tex3]
Primeira passagem - Começamos "desracionalizando" a parte direita da equação, multiplicando e dividindo por [tex3]1-\sqrt{x}[/tex3]
[tex3]x^{x - \sqrt{x}} = (\sqrt{x} + 1)\cdot\frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}[/tex3]
[tex3]x^{x - \sqrt{x}} = \frac{(1+\sqrt{x})\cdot(1-\sqrt{x})}{1-\sqrt{x}}[/tex3]
[tex3]x^{x - \sqrt{x}} = \frac{1-x}{1-\sqrt{x}}[/tex3]
Segunda passagem - Dividimos ambos os lados da equação por [tex3]x^{x-\sqrt{x}}[/tex3]
[tex3]\frac{x^{x - \sqrt{x}}}{x^{x-\sqrt{x}}} = \frac{\frac{1-x}{1-\sqrt{x}}}{x^{x-\sqrt{x}}}[/tex3]
[tex3]1 = \frac{\frac{1}{x^{x-\sqrt{x}}}-\frac{x}{x^{x-\sqrt{x}}}}{1-\sqrt{x}}[/tex3]
Passando os elementos que estão nos denominadores da parte direita da equação para o numerador, trocando o sinal de seus expoentes:
[tex3]1 = \frac{x^{-x+\sqrt{x}}-x\cdot(x^{-x+\sqrt{x}})}{1-\sqrt{x}}[/tex3]
[tex3]1 = \frac{x^{-x+\sqrt{x}}-x^{1-x+\sqrt{x}}}{1-\sqrt{x}}[/tex3]
[tex3]\ldots[/tex3]
Agora é só continuar com a resolução do colega.
Grande abraço,
Prof. Caju
Última edição: caju (Sex 16 Jun, 2017 11:42). Total de 1 vez.
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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