Ensino Médio ⇒ Propriedades função Tópico resolvido

[Carolinethz]

- Se f: [tex3]\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex3]

é uma função definida por f(x) = x² - 4, então f:
a) é impar
b) é limitada
c) é injetora
d) e periódica
e) não é monotônica
Gabarito: letra E

Obs: buguei muito nessa questão, quanto mais detalhada, mais me ajudaria... haha



Obrigada desde já!!!

[petras]

a) função ímpar f(-x) = -f(x) [tex3]\rightarrow[/tex3]

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[tex3]\rightarrow[/tex3]

f(-1) =-3 e -f(1) = 3 portanto não é ímpar

b) Uma função f é dita limitada, em seu domínio, quando sua imagem está contida num intervalo. É fácil perceber que na parábola a imagem não está contida num intervalo, ou de uma maneira simplista, não fica presa dentro de duas retas.

c)Uma função f(x) é injetora se, para diferentes valores x , no domínio de f, sempre corresponderem valores diferentes de y na imagem f(1) = -3 e f(-1) = -3 portanto não e injetora

d) Uma função diz-se periódica se se repete ao longo da variável independente com um determinado período constante. É fácil perceber que não acontece essa repetição.

e) Uma função é denominada monotônica quando for crescente ou decrescente, ou estritamente crescente ou estritamente decrescente ou constante.
No caso em questão ela é crescente até o vértice e decrescente a partir do vértice, portanto não atende o requisito para ser monotônica.

[Gauss]

Letra A: Para uma função ser ímpar, a mesma deve satisfazer a igualdade f(-x)=-f(x). Vamos ver se nossa função satisfaz essa condição:

[tex3]f(x)=x^2-4\\\\f(-x)=(-x)^2-4\rightarrow f(-x)=x^2-4\\\\-f(x)=-(x^2-4)\rightarrow -f(x)=-x^2+4\\\\\therefore \ f(-x)\neq -f(x),pois\ x^2-4\neq -x^2+4[/tex3]

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[tex3]f(x)=x^2-4\\\\f(-x)=(-x)^2-4\rightarrow f(-x)=x^2-4\\\\-f(x)=-(x^2-4)\rightarrow -f(x)=-x^2+4\\\\\therefore \ f(-x)\neq -f(x),pois\ x^2-4\neq -x^2+4[/tex3]

Logo, a função não é ímpar.

Letra B: Esta proposição é falsa. O próprio enunciado não diz que a função só é definida para determinados valores de x, por exemplo.

Letra C: Para que a função seja injetora, f(x) deve satisfazer a seguinte condição:

Para [tex3]x_1\neq x_2[/tex3]

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[tex3]x_1\neq x_2[/tex3]

obtemos [tex3]f(x_1)\neq f(x_2)[/tex3]

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[tex3]f(x_1)\neq f(x_2)[/tex3]

.

Vejamos se isso ocorre:

[tex3]x=2\rightarrow f(2)=(2)^2-4\rightarrow f(2)=0\\\\x=-2\rightarrow f(-2)=(-2)^2-4\rightarrow f(-2)=0[/tex3]

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[tex3]x=2\rightarrow f(2)=(2)^2-4\rightarrow f(2)=0\\\\x=-2\rightarrow f(-2)=(-2)^2-4\rightarrow f(-2)=0[/tex3]

Veja que x=2 é diferente de x=-2, mas f(2)=f(-2)=0, assim, f(x) não é injetora.

Letra D: Para esta proposição eu sugiro que você desenhe o gráfico de f(x)=x²-4 para que você possa ver que f(x) não é periódica. Como contraexemplo, veja o gráfico da função g(x)=sen x logo abaixo:

Screenshot_10.jpg (6.02 KiB) Exibido 983 vezes

A função g(x)=sen x é um exemplo de função periódica, diferentemente da função f(x)=x²-4.

Letra E: Esta proposição já foi respondida pelo nosso colega, petras.

Obs: Deixarei minha resposta postada, pois eu já tinha escrito tudo isso. Nosso colega petras foi mais rápido !

[petras]

Estamos todos aqui para ajudar!!!