Ensino Médio(UFF-2017) Geometria Plana - Polígono Regular

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edinaldoprof
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Fev 2017 13 14:07

(UFF-2017) Geometria Plana - Polígono Regular

Mensagem não lida por edinaldoprof »

Considere as afirmativas abaixo sobre um polígono regular de n lados onde o número de diagonais é múltiplo de n.

(I) O polígono não pode ter diagonal que passa pelo seu centro.
(II) n pode ser múltiplo de 17.
(III) n pode ser primo.

Verifique se são verdadeiras ou falsas, justificando a resposta para cada item.




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csmarcelo
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Fev 2017 13 16:11

Re: (UFF-2017) Geometria Plana - Polígono Regular

Mensagem não lida por csmarcelo »

O número de diagonais [tex3]d[/tex3] de um polígono é dado pela fórmula:

[tex3]d=\frac{n(n-3)}{2}[/tex3] , onde [tex3]n[/tex3] é o número de lados do polígono.

Se o número de diagonais de um polígono é múltiplo do número de lados, então [tex3]d=kn,k\in\mathbb{Z}^*[/tex3] .

Substituindo na fórmula...

[tex3]kn=\frac{n(n-3)}{2}\Rightarrow k=\frac{n-3}{2}[/tex3]

Concluímos, então, que é necessário e suficiente que [tex3]n[/tex3] seja um número ímpar.

(I) Verdadeira. Um polígono só possui diagonais que passam pelo centro se ele possuir um número par de lados

(II) Verdadeira. Se [tex3]n[/tex3] for igual a [tex3]17q[/tex3] , onde [tex3]q[/tex3] é ímpar, [tex3]n[/tex3] será tanto ímpar quanto múltiplo de 17.

(III) Verdadeira. Existem infinitos números ímpares primos.

Última edição: csmarcelo (Seg 13 Fev, 2017 16:11). Total de 1 vez.



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