Ensino Médio ⇒ Polinômio

[Vscarv]

Dado que p(x)=[tex3]nx^{n+4}+3x^{4-n}-2x^{3}+4x-5[/tex3]

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[tex3]nx^{n+4}+3x^{4-n}-2x^{3}+4x-5[/tex3]

, Q(x)=[tex3]3x^{n+4}-x^{4}+x^{3}+2nx^{2}+x-2[/tex3]

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[tex3]3x^{n+4}-x^{4}+x^{3}+2nx^{2}+x-2[/tex3]

são dois polinômios. Determine se existe n inteiro tal que a diferença P-Q é um polinômio com grau 5 e seis termos.

Resposta

---

n=-1

Por que não é n=1?

[PedroCunha]

Bom dia!

[tex3]\begin{align}


p(x) - q(x) & = nx^{n+4} - 3x^{n+4} + x^4 -2x^3 - x^3 - 2nx^2 + 4x-x + 3x^{4-n} +2 \\
& = (n-3) \cdot x^{n+4} + x^4 - 3x^3 - 2nx^2 + 3x + 3x^{4-n} + 2

\end{align}[/tex3]

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[tex3]\begin{align}


p(x) - q(x) & = nx^{n+4} - 3x^{n+4} + x^4 -2x^3 - x^3 - 2nx^2 + 4x-x + 3x^{4-n} +2 \\
& = (n-3) \cdot x^{n+4} + x^4 - 3x^3 - 2nx^2 + 3x + 3x^{4-n} + 2

\end{align}[/tex3]

Note agora que se [tex3]n = 1[/tex3]

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[tex3]n = 1[/tex3]

:

[tex3]p(x) - q(x) = -2x^5+ x^4 - \cancel{3x^3} - 2x^2 + 3x + \cancel{3x^3} + 2 = -2x^5 + x^4 - 2x^2+3x+2[/tex3]

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[tex3]p(x) - q(x) = -2x^5+ x^4 - \cancel{3x^3} - 2x^2 + 3x + \cancel{3x^3} + 2 = -2x^5 + x^4 - 2x^2+3x+2[/tex3]

ou seja, só temos 5 termos. Agora, para [tex3]n = -1[/tex3]

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[tex3]n = -1[/tex3]

:

[tex3]p(x) - q(x) = -4x^{3} + x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 3x + 3x^5 + 2 \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ p(x)-q(x) = 3x^5 + x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 3x + 2}}[/tex3]

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[tex3]p(x) - q(x) = -4x^{3} + x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 3x + 3x^5 + 2 \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ p(x)-q(x) = 3x^5 + x^4 - 7x^3 + 2x^2 + 3x + 2}}[/tex3]

É isso.

Grande abraço,
Pedro.