[tex3]\frac{(x-3)^5(x+2)^{11}(x^2-3)}{(x^2-4x-12)^7}\leq 0[/tex3]
V={x [tex3]\in \mathbb{R}|-\sqrt{3}\leq x\leq \sqrt{3}\vee 3\leq x<6\}[/tex3]
Nota: qual seria a implicação se os expoentes fossem pares? obrigado.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Ensino Médio ⇒ Inequações do Segundo Grau
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Fev 2017
09
16:50
Re: Inequações do Segundo Grau
Boa tarde!
Se todos os expoentes fossem pares, a expressão seria sempre positiva e portanto a inequação nunca seria verdadeira.
Quanto ao exercício proposto:
[tex3]\frac{(x-3)^5 \cdot (x+2)^{11} \cdot (x^2-3)}{(x^2-4x-12)^7} \leq 0 \therefore \frac{\left[(x-3)^4 \cdot (x+2)^{10}\right] (x-3) \cdot (x+2) \cdot (x^2-3)}{\left[(x^2-4x-12)^6\right] \cdot (x^2-4x-12)} \leq 0 \therefore \\\\ \frac{f(x) \cdot (x-3) \cdot (x+2) \cdot (x^2-3)}{g(x) \cdot (x^2-4x-12)} \leq 0[/tex3]
Como [tex3]f(x), g(x) \geq 0 \,\ \forall \,\, x \in \mathbb{R}[/tex3] , podemos excluí-las da nossa análise. Ficamos então:
[tex3]\frac{(x-3) \cdot (x+2) \cdot (x^2-3)}{x^2-4x-12} \leq 0 \therefore \frac{(x-3) \cdot (x+2) \cdot (x^2-3)}{(x-6) \cdot (x+2)} \leq 0[/tex3]
Para [tex3]x \neq 2[/tex3] :
[tex3]\frac{(x-3) \cdot (x^2-3)}{x-6} \leq 0 \therefore \frac{(x-3) \cdot (x+\sqrt3) \cdot (x-\sqrt3)}{x-6} \leq 0[/tex3]
Temos dois casos possíveis:
1º caso: numerador positivo e denominador positivo. Analisemos:
[tex3]\begin{cases}
(x-3)\cdot (x+\sqrt3) \cdot (x-\sqrt3) \geq 0 \rightarrow x \geq 3 \\
x-6 < 0 \rightarrow x < 6
\end{cases}[/tex3]
o que nos dá [tex3]3 \leq x < 6[/tex3]
2º caso: numerador negativo e denominador positivo:
[tex3]\begin{cases}
(x-3) \cdot (x+\sqrt3) \cdot (x-\sqrt3) \leq 0 \rightarrow x \leq 3 \text{ ou } -\sqrt3 \leq x \leq \sqrt 3 \\
x-6 > 0 \rightarrow x > 6
\end{cases}[/tex3]
o que nos dá [tex3]-\sqrt3 \leq x \leq \sqrt 3[/tex3] . Portanto, o conjunto solução da inequação é:
[tex3]\boxed{\boxed{ S = \{ x \in \mathbb{R} | 3 \leq x < 6 \,\, \vee \,\, -\sqrt3 \leq x \leq \sqrt3 \} }}[/tex3]
É isso.
Abraço,
Pedro
Se todos os expoentes fossem pares, a expressão seria sempre positiva e portanto a inequação nunca seria verdadeira.
Quanto ao exercício proposto:
[tex3]\frac{(x-3)^5 \cdot (x+2)^{11} \cdot (x^2-3)}{(x^2-4x-12)^7} \leq 0 \therefore \frac{\left[(x-3)^4 \cdot (x+2)^{10}\right] (x-3) \cdot (x+2) \cdot (x^2-3)}{\left[(x^2-4x-12)^6\right] \cdot (x^2-4x-12)} \leq 0 \therefore \\\\ \frac{f(x) \cdot (x-3) \cdot (x+2) \cdot (x^2-3)}{g(x) \cdot (x^2-4x-12)} \leq 0[/tex3]
Como [tex3]f(x), g(x) \geq 0 \,\ \forall \,\, x \in \mathbb{R}[/tex3] , podemos excluí-las da nossa análise. Ficamos então:
[tex3]\frac{(x-3) \cdot (x+2) \cdot (x^2-3)}{x^2-4x-12} \leq 0 \therefore \frac{(x-3) \cdot (x+2) \cdot (x^2-3)}{(x-6) \cdot (x+2)} \leq 0[/tex3]
Para [tex3]x \neq 2[/tex3] :
[tex3]\frac{(x-3) \cdot (x^2-3)}{x-6} \leq 0 \therefore \frac{(x-3) \cdot (x+\sqrt3) \cdot (x-\sqrt3)}{x-6} \leq 0[/tex3]
Temos dois casos possíveis:
1º caso: numerador positivo e denominador positivo. Analisemos:
[tex3]\begin{cases}
(x-3)\cdot (x+\sqrt3) \cdot (x-\sqrt3) \geq 0 \rightarrow x \geq 3 \\
x-6 < 0 \rightarrow x < 6
\end{cases}[/tex3]
o que nos dá [tex3]3 \leq x < 6[/tex3]
2º caso: numerador negativo e denominador positivo:
[tex3]\begin{cases}
(x-3) \cdot (x+\sqrt3) \cdot (x-\sqrt3) \leq 0 \rightarrow x \leq 3 \text{ ou } -\sqrt3 \leq x \leq \sqrt 3 \\
x-6 > 0 \rightarrow x > 6
\end{cases}[/tex3]
o que nos dá [tex3]-\sqrt3 \leq x \leq \sqrt 3[/tex3] . Portanto, o conjunto solução da inequação é:
[tex3]\boxed{\boxed{ S = \{ x \in \mathbb{R} | 3 \leq x < 6 \,\, \vee \,\, -\sqrt3 \leq x \leq \sqrt3 \} }}[/tex3]
É isso.
Abraço,
Pedro
Editado pela última vez por PedroCunha em 09 Fev 2017, 16:50, em um total de 3 vezes.
"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."
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Fev 2017
10
01:29
Re: Inequações do Segundo Grau
Muito obrigado pela ajuda, Pedro. Uma dúvida: a razão pela qual se pode excluir f(x) e g(x) é que como serão obrigatoriamente nulas ou positivas, multiplicando pelo restante da expressão não irão alterar o valor de verdade da inequação? agradeço novamente.
Life begins at the end of your comfort zone.
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Fev 2017
10
09:28
Re: Inequações do Segundo Grau
Bom dia!
É por essa razão mesmo. Também porque o caso onde são nulas já está incluído na expressão restante!
Grande abraço,
Pedro
É por essa razão mesmo. Também porque o caso onde são nulas já está incluído na expressão restante!
Grande abraço,
Pedro
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Fev 2017
10
22:29
Re: Inequações do Segundo Grau
Ah sim, verdade!
Editado pela última vez por Killin em 10 Fev 2017, 22:29, em um total de 1 vez.
Life begins at the end of your comfort zone.
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