Ensino Médio ⇒ Inequações do Segundo Grau

[Killin]

[tex3]\frac{(x-3)^5(x+2)^{11}(x^2-3)}{(x^2-4x-12)^7}\leq 0[/tex3]

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[tex3]\frac{(x-3)^5(x+2)^{11}(x^2-3)}{(x^2-4x-12)^7}\leq 0[/tex3]

V={x [tex3]\in \mathbb{R}|-\sqrt{3}\leq x\leq \sqrt{3}\vee 3\leq x<6\}[/tex3]

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[tex3]\in \mathbb{R}|-\sqrt{3}\leq x\leq \sqrt{3}\vee 3\leq x<6\}[/tex3]

Nota: qual seria a implicação se os expoentes fossem pares? obrigado.

[PedroCunha]

Boa tarde!

Se todos os expoentes fossem pares, a expressão seria sempre positiva e portanto a inequação nunca seria verdadeira.

Quanto ao exercício proposto:

[tex3]\frac{(x-3)^5 \cdot (x+2)^{11} \cdot (x^2-3)}{(x^2-4x-12)^7} \leq 0 \therefore \frac{\left[(x-3)^4 \cdot (x+2)^{10}\right] (x-3) \cdot (x+2) \cdot (x^2-3)}{\left[(x^2-4x-12)^6\right] \cdot (x^2-4x-12)} \leq 0 \therefore \\\\ \frac{f(x) \cdot (x-3) \cdot (x+2) \cdot (x^2-3)}{g(x) \cdot (x^2-4x-12)} \leq 0[/tex3]

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[tex3]\frac{(x-3)^5 \cdot (x+2)^{11} \cdot (x^2-3)}{(x^2-4x-12)^7} \leq 0 \therefore \frac{\left[(x-3)^4 \cdot (x+2)^{10}\right] (x-3) \cdot (x+2) \cdot (x^2-3)}{\left[(x^2-4x-12)^6\right] \cdot (x^2-4x-12)} \leq 0 \therefore \\\\ \frac{f(x) \cdot (x-3) \cdot (x+2) \cdot (x^2-3)}{g(x) \cdot (x^2-4x-12)} \leq 0[/tex3]

Como [tex3]f(x), g(x) \geq 0 \,\ \forall \,\, x \in \mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]f(x), g(x) \geq 0 \,\ \forall \,\, x \in \mathbb{R}[/tex3]

, podemos excluí-las da nossa análise. Ficamos então:

[tex3]\frac{(x-3) \cdot (x+2) \cdot (x^2-3)}{x^2-4x-12} \leq 0 \therefore \frac{(x-3) \cdot (x+2) \cdot (x^2-3)}{(x-6) \cdot (x+2)} \leq 0[/tex3]

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[tex3]\frac{(x-3) \cdot (x+2) \cdot (x^2-3)}{x^2-4x-12} \leq 0 \therefore \frac{(x-3) \cdot (x+2) \cdot (x^2-3)}{(x-6) \cdot (x+2)} \leq 0[/tex3]

Para [tex3]x \neq 2[/tex3]

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[tex3]x \neq 2[/tex3]

:

[tex3]\frac{(x-3) \cdot (x^2-3)}{x-6} \leq 0 \therefore \frac{(x-3) \cdot (x+\sqrt3) \cdot (x-\sqrt3)}{x-6} \leq 0[/tex3]

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[tex3]\frac{(x-3) \cdot (x^2-3)}{x-6} \leq 0 \therefore \frac{(x-3) \cdot (x+\sqrt3) \cdot (x-\sqrt3)}{x-6} \leq 0[/tex3]

Temos dois casos possíveis:

1º caso: numerador positivo e denominador positivo. Analisemos:

[tex3]\begin{cases}

(x-3)\cdot (x+\sqrt3) \cdot (x-\sqrt3) \geq 0 \rightarrow x \geq 3 \\
x-6 < 0 \rightarrow x < 6

\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}

(x-3)\cdot (x+\sqrt3) \cdot (x-\sqrt3) \geq 0 \rightarrow x \geq 3 \\
x-6 < 0 \rightarrow x < 6

\end{cases}[/tex3]

o que nos dá [tex3]3 \leq x < 6[/tex3]

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[tex3]3 \leq x < 6[/tex3]

2º caso: numerador negativo e denominador positivo:

[tex3]\begin{cases}

(x-3) \cdot (x+\sqrt3) \cdot (x-\sqrt3) \leq 0 \rightarrow x \leq 3 \text{ ou } -\sqrt3 \leq x \leq \sqrt 3 \\
x-6 > 0 \rightarrow x > 6

\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}

(x-3) \cdot (x+\sqrt3) \cdot (x-\sqrt3) \leq 0 \rightarrow x \leq 3 \text{ ou } -\sqrt3 \leq x \leq \sqrt 3 \\
x-6 > 0 \rightarrow x > 6

\end{cases}[/tex3]

o que nos dá [tex3]-\sqrt3 \leq x \leq \sqrt 3[/tex3]

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[tex3]-\sqrt3 \leq x \leq \sqrt 3[/tex3]

. Portanto, o conjunto solução da inequação é:

[tex3]\boxed{\boxed{ S = \{ x \in \mathbb{R} | 3 \leq x < 6 \,\, \vee \,\, -\sqrt3 \leq x \leq \sqrt3 \} }}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{ S = \{ x \in \mathbb{R} | 3 \leq x < 6 \,\, \vee \,\, -\sqrt3 \leq x \leq \sqrt3 \} }}[/tex3]

É isso.

Abraço,
Pedro

[Killin]

Muito obrigado pela ajuda, Pedro. Uma dúvida: a razão pela qual se pode excluir f(x) e g(x) é que como serão obrigatoriamente nulas ou positivas, multiplicando pelo restante da expressão não irão alterar o valor de verdade da inequação? agradeço novamente.

[PedroCunha]

Bom dia!

É por essa razão mesmo. Também porque o caso onde são nulas já está incluído na expressão restante!

Grande abraço,
Pedro

[Killin]

Ah sim, verdade!

Bom dia!

É por essa razão mesmo. Também porque o caso onde são nulas já está incluído na expressão restante!

Grande abraço,
Pedro