Ensino MédioEquação logarítmica Tópico resolvido

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ARTHUR36
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Fev 2017 06 14:12

Equação logarítmica

Mensagem não lida por ARTHUR36 »

Gostaria de ajuda com a resolução:

2.log(logx) = log(7 - 2.logx) - log5



"A disciplina é a parte mais importante do sucesso."

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PedroCunha
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Fev 2017 06 15:24

Re: Equação logarítmica

Mensagem não lida por PedroCunha »

Boa tarde!

Condições de existência:

[tex3]\begin{cases}

\log_{10} x > 0 \\
7 - 2\log_{10} x > 0

\end{cases}

\rightarrow 0 < 2\log_{10} x < 7 \therefore 1 < x < 10^\frac{7}{2}[/tex3]

Temos:

[tex3]2\log_{10} (\log_{10} x) = \log_{10} (7-2\log_{10} x) - \log_{10} 5 \therefore \log_{10}[ (\log_{10} x)^2 ] - \log_{10}(7 - 2 \log_{10} x) = -\log_{10} 5[/tex3]

Seja agora [tex3]\log_{10} x = k, k \in \mathbb{R^+}[/tex3] :

[tex3]\log_{10}(k^2) - \log_{10}(7-2k) = -\log_{10} 5 \therefore \log_{10} \left( \frac{k^2}{7-2k} \right) = -\log_{10} 5 \therefore \\\\ 10^{-\log_{10} 5} = \frac{k^2}{7-2k} \therefore \frac{1}{5} = \frac{k^2}{7-2k} \therefore 5k^2 + 2k - 7 = 0[/tex3]

Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos:

[tex3]k = \frac{-2\pm 12}{10} \therefore k_1 = 1 \text{ ou } \cancel{k_2 = -\frac{7}{5}}[/tex3]

de maneira que

[tex3]\boxed{\boxed{ \log_{10} x = 1 \Leftrightarrow x = 10 }}[/tex3]

Grande abraço,
Pedro

Última edição: PedroCunha (Seg 06 Fev, 2017 15:24). Total de 1 vez.


"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."

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