Ensino MédioSoma de PG Tópico resolvido

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brunoafa
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Soma de PG

Mensagem não lida por brunoafa »

Seja [tex3]a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}[/tex3] uma progressão geométrica de razão [tex3]r[/tex3] . Se [tex3]a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}= 3124[/tex3] e [tex3]a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}=2343[/tex3] , determinar [tex3]r[/tex3] e [tex3]a_{3}[/tex3]

Resposta

Gabarito
[tex3]r=-1562[/tex3]
[tex3]a_{3}=9372[/tex3]

Última edição: brunoafa (Ter 31 Jan, 2017 19:51). Total de 2 vezes.


MACTE ANIMO! GENEROSE PUER, SIC ITUR AD ASTRA

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PedroCunha
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Jan 2017 31 20:34

Re: Soma de PG

Mensagem não lida por PedroCunha »

E aí, Bruno, tudo tranquilo?

O termo geral de uma progressão geométrica é dado por:

[tex3]a_n = a_1 \cdot q^{n-1}[/tex3]

Sendo assim, a primeira equação dada pelo enunciado pode ser reescrita como:

[tex3]a_1 + a_1 \cdot q + a_1 \cdot q^2 + a_1 \cdot q^3 + a_1 \cdot q^4 = 3124 \therefore a_1 \cdot (1 +q + q^2 + q^3 + q^4) = 3124[/tex3]

Vou chamar essa equação de equação I .

Observe que dentro dos parênteses temos uma soma de PG. Aplicando a fórmula da soma, que é dada por:

[tex3]S_n = \frac{a_1 \cdot (q^n - 1)}{q-1}[/tex3] , ficamos com:

[tex3]S_6 = \frac{1 \cdot (q^5 - 1)}{q-1} = \frac{q^5 - 1}{q-1}[/tex3]

Fazendo o mesmo processo com a outra equação exposta no enunciado, ficamos com:

[tex3]a_1 \cdot q \cdot (1 + q + q^2 + q^3 + q^4) = 2343 \therefore a_1 \cdot q \cdot \frac{q^5 - 1}{q-1} = 2343[/tex3]

Vou chamar essa equação de II . Assumindo agora que [tex3]q \neq 1[/tex3] , vou dividir II por I . Temos:

[tex3]\frac{\cancel{a_1} \cdot q \cdot \cancel{\frac{q^5 - 1}{q-1}}}{\cancel{a_1} \cdot \cancel{\frac{q^5 - 1}{q-1}}} = \frac{2343}{3124} \leftrightarrow q = \frac{2343}{3124} = \frac{3}{4}[/tex3]

Substituindo q em II , obtemos [tex3]a_1 = 1024[/tex3] e portanto [tex3]a_3 = 1024 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^2 = 576[/tex3] .

Penso que seu gabarito esteja errado.

Grande abraço,
Pedro.

Última edição: PedroCunha (Ter 31 Jan, 2017 20:34). Total de 1 vez.


"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."

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caju
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Fev 2017 01 09:52

Re: Soma de PG

Mensagem não lida por caju »

Acho que o erro do enunciado está em falar que é uma progressão geométrica. Na verdade, era pra ser uma progressão aritmética, pois são as PAs que possuem razão r. As PGs possuem razão q.

Se fizermos como sendo uma PA, aplicamos a fórmula da soma dos termos de uma PA nas duas equações apresentadas e ficamos com:

[tex3]\begin{cases}(a_1+a_5)\cdot\frac{5}{2}=3124 \\ (a_2+a_6)\cdot\frac{5}{2}=2343\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}(a_1+a_1+4r)\cdot\frac{5}{2}=3124 \\ (a_1+r+a_1+5r)\cdot\frac{5}{2}=2343\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}2a_1+4r=3124\cdot\frac{2}{5} \\ 2a_1+6r=2343\cdot\frac{2}{5}\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}2a_1+4r=1249,6\hspace{30px}{\color{red}\text{(I)}} \\ 2a_1+6r=937,2\hspace{36px}{\color{red}\text{(II)}}\end{cases}[/tex3]

Subtraindo (II) de (I):

[tex3]2r=-312,4\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{\boxed{r=-156,2}}[/tex3]

Substituindo esse resultado em (II):

[tex3]2a_1+6\cdot (-156,2)=937,2\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{a_1=937,2}[/tex3]

E o terceiro termo é:

[tex3]a_3=a_1+2r\,\,\,\rightarrow\,\,\,a_3=937,2+2\cdot(-156,2)\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{\boxed{a_3=624,8}}[/tex3]

Note que o valor de [tex3]r[/tex3] encontrado é bem parecido com o valor do gabarito, mas [tex3]a_3[/tex3] não.

Grande abraço,
Prof. Caju
Última edição: caju (Qua 01 Fev, 2017 09:52). Total de 1 vez.


"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

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brunoafa
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Fev 2017 01 15:12

Re: Soma de PG

Mensagem não lida por brunoafa »

Também estranhei isso, professor. Porque geralmente chamam de [tex3]r[/tex3] a razão da PA e [tex3]q[/tex3] da PG. Agradeço as respostas dos dois.

Última edição: brunoafa (Qua 01 Fev, 2017 15:12). Total de 1 vez.


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