Ensino Médio

Calcular a soma:

[tex3]\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\cdot \cdot \cdot+\sqrt{1+\frac{1}{999^2}+\frac{1}{1000^2}}[/tex3]

Estou pensando aqui, o "termo geral" seria [tex3]a_{n}=\sqrt{1+\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}}[/tex3] mas como não é a primeira vez que tento resolver vou deixar o tópico aberto enquanto penso na resposta. Se eu acertar e ninguém tiver respondido apago, se não, vai me ajudar a descobrir.

Sei lá, man. Acho que vou fazer do pior jeito possível, mas sai..
[tex3]a_n = \sqrt{1+ \frac 1 {(n+1)^2} + \frac 1 {(n+2)^2} } = \sqrt{\frac{(n^2+3n+3)^2}{(n+1)^2(n+2)^2}}= \frac{n^2 + 3n +3}{n^2 +3n +2}= 1 + \frac{1}{(n+2)(n+1)}[/tex3]
Assim, a soma pedida é:
[tex3]\sum_{n=1}^{998} a_n = 998 + \sum_{n=1}^{998} \frac{1}{(n+2)(n+1)}[/tex3]
Agora, veja que:
[tex3]\frac{1}{(n+2)(n+1)}= \frac{A}{n+1}+ \frac{B}{n+2} \Longrightarrow A(n+2) + B(n+1) = 1\Longleftrightarrow \begin{cases} A = 1 \\ B = -1 \end{cases}[/tex3] .
[tex3]\sum_{n=1}^{998} = 998+ \sum_{n=1}^{998} \left( \frac{1}{n+1}- \frac 1 {n+2} \right) = 998+ \frac 1 2 - \frac 1 {1000} = \frac{998499}{1000}[/tex3]

[tex3]\sum_{n=1}^{998} a_n = 998 + \sum_{n=1}^{998} \frac{1}{(n+2)(n+1)}[/tex3]

Não entendi essa parte.

O livro deu como resposta [tex3]998499[/tex3] mas acredito que você deve estar certo.

Também não ficou claro para mim porque toda essa expressão

[tex3]\frac{1}{(n+2)(n+1)}= \frac{A}{n+1}+ \frac{B}{n+2} \Longrightarrow A(n+2) + B(n+1) = 1\Longleftrightarrow \begin{cases} A = 1 \\ B = -1 \end{cases}[/tex3]

Tem que ter soma igual a [tex3]1[/tex3] . E nem como você descobriu [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] .

Mensagem não lidapor **Marcos** » Ter 31 Jan, 2017 20:08 · Mensagem não lida por **Marcos** » Ter 31 Jan, 2017 20:08

Olá brunoafa.Observe a solução:

[tex3]\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\cdot \cdot \cdot+\sqrt{1+\frac{1}{999^2}+\frac{1}{1000^2}}[/tex3]

[tex3]\leadsto\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{49}{36}}=\frac{7}{6}[/tex3]
[tex3]\rightarrow \frac{7}{6}=\frac{6+1}{6}=1+\frac{1}{6}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}[/tex3]

[tex3]\leadsto\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{169}{144}}=\frac{13}{12}[/tex3]
[tex3]\rightarrow \frac{13}{12}=\frac{12+1}{12}=1+\frac{1}{12}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}[/tex3]

[tex3]................[/tex3]

[tex3]\leadsto\sqrt{1+\frac{1}{998^2}+\frac{1}{999^2}}=......................[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\sqrt{1+\frac{1}{998^2}+\frac{1}{999^2}}=1+\frac{1}{998}-\frac{1}{999}[/tex3]

[tex3]\leadsto\sqrt{1+\frac{1}{999^2}+\frac{1}{1000^2}}=......................[/tex3]
[tex3]\Rightarrow\sqrt{1+\frac{1}{999^2}+\frac{1}{1000^2}}=1+\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}[/tex3]

[tex3]\blacktriangleright \ \sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\cdot \cdot \cdot+\sqrt{1+\frac{1}{999^2}+\frac{1}{1000^2}}=[/tex3]
[tex3]=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ ..........+1+\frac{1}{998}-\frac{1}{999}+1+\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}=[/tex3]
[tex3]=1+\frac{1}{2}\cancel{-\frac{1}{3}}+1\cancel{+\frac{1}{3}}\cancel{-\frac{1}{4}}+ ..........+1+\frac{1}{998}\cancel{-\frac{1}{999}}+1+\cancel{\frac{1}{999}}-\frac{1}{1000}=[/tex3]
[tex3]=1+\frac{1}{2}+1+ ..........+1+1-\frac{1}{1000}=[/tex3]
[tex3]=\boxed{\boxed{998+\frac{1}{2}-\frac{1}{1000}}}[/tex3] .

Resposta: [tex3]998+\frac{1}{2}-\frac{1}{1000}[/tex3] .

O Marcos confirmou a solução. Mas apenas para esclarecimento de dúvidas, e também acredito que uma solução compacta seja melhor para um vestibular, tentarei esclarecer os pontos que tu ficou em dúvidas.
> Inicialmente, tireis os mmc's e verifiquei os quadrados perfeitos.
> A soma inicial era [tex3]\sum_{n=1}^{998} a_n[/tex3] onde [tex3]a_n = \sqrt{1+ \frac{1}{(n+1)^2}+ \frac 1{(n+2)^2}} =1+ \frac{1}{(n+1)(n+2)}[/tex3] .
> Assim, [tex3]\sum_{n=1}^{998} a_n = \sum_{n=1}^{998} \left(1+ \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) =\sum_{n=1}^{998} 1 +\sum_{i=1}^{998} \left(\frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)[/tex3]
A última igualdade é possível, pois para quaisquer [tex3]a_n , b_n[/tex3] então, [tex3]\sum_n (a_n + b_n ) = \sum_n a_n + \sum_ n b_n[/tex3] .
> Agora, [tex3]\sum_{n=1}^{998} 1 = 1 + 1 + 1 +\cdots 1 = 998[/tex3] , pois é uma soma de 998 um's.
> Temos que calcular a outra soma. Para isso, utilizamos o método das frações parciais e percebemos que a soma é uma soma telescópica https://pt.wikipedia.org/wiki/Soma_telesc%C3%B3pica.
>Nosso objetivo é encontrar as constantes [tex3]A, B[/tex3] tais que a igualdade [tex3]\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac A {(n+1)} + \frac B {(n+2)}[/tex3] se confirme. Fazendo o mmc tudo que você tem que fazer é uma simples igualdade de polinômios. Tente fazer isso.

Po Marcos, você está treinado mesmo, essa relação nos números que você achou pelo menos para mim não é nada óbvia.

E obrigado pelos esclarecimentos, Lucas, entendi que você "dividiu" o somatório em dois, sobre a soma telescopia eu vou dar um olhada depois, não vou me aventurar muito nisso.

Marcaria a resposta dos dois como correta mas como só dá para marcar uma vou colocar a primeira.

Valeu

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