Ensino Médio

Mensagem não lidapor **FISMAQUIM** » 27 Jan 2017, 09:36 · Mensagem não lida por **FISMAQUIM** » 27 Jan 2017, 09:36

Na figura a seguir o arco PQ pertence à circunferência de centro O. Sua medida, em radianos é a e seu comprimento é 5 cm.

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Com centro em M, ponto médio de OQ, traçamos uma circunferência que contém o arco QR e tangencia internamente a outra circunferência no ponto Q. Determine o comprimento de QR.

R - 5 cm

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 28 Jan 2017, 10:42 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 28 Jan 2017, 10:42

O comprimento [tex3]p[/tex3] de um arco da circunferência, em relação ao ângulo que o determina e o raio daquela, é dado pela seguinte fórmula:

[tex3]p=\alpha\cdot r[/tex3]

: Sem título.png (9.42 KiB) Exibido 2489 vezes

Logo, pelo enunciado,

[tex3]\alpha\cdot\overline{OQ}=5[/tex3]

A medida de [tex3]\overline{MQ}[/tex3] (raio da circunferência de centro [tex3]M[/tex3] ) é a metade da de [tex3]\overline{OQ}[/tex3] (raio da circunferência de centro [tex3]O[/tex3] ) e, portanto, o ponto [tex3]O[/tex3] , assim como o [tex3]Q[/tex3] , também pertence à circunferência de raio [tex3]M[/tex3] . Isso faz com que o ângulo [tex3]\alpha[/tex3] seja um ângulo inscrito na circunferência e sua medida corresponda à metade da medida do ângulo central (pois ambos os ângulos determinam o mesmo arco [tex3]\widehat{QR}[/tex3] ), ou seja, [tex3]\angle{QMR}=2\alpha[/tex3] .

: Sem título2.png (13.75 KiB) Exibido 2489 vezes

[tex3]\widehat{QR}=\angle{QMR}\cdot\overline{MQ}[/tex3]

Fazendo as devidas substituições...

[tex3]\widehat{QR}=2\alpha\cdot\frac{\overline{OQ}}{2}[/tex3]

[tex3]\widehat{QR}=\alpha\cdot\overline{OQ}=5[/tex3]

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