Ensino Médioângulos na circunferência

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FISMAQUIM
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ângulos na circunferência

Mensagem não lida por FISMAQUIM »

Na figura a seguir o arco PQ pertence à circunferência de centro O. Sua medida, em radianos é a e seu comprimento é 5 cm.
Sem título-1.gif
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Com centro em M, ponto médio de OQ, traçamos uma circunferência que contém o arco QR e tangencia internamente a outra circunferência no ponto Q. Determine o comprimento de QR.

R - 5 cm

Última edição: FISMAQUIM (Sex 27 Jan, 2017 09:36). Total de 1 vez.



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csmarcelo
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Re: ângulos na circunferência

Mensagem não lida por csmarcelo »

O comprimento [tex3]p[/tex3] de um arco da circunferência, em relação ao ângulo que o determina e o raio daquela, é dado pela seguinte fórmula:

[tex3]p=\alpha\cdot r[/tex3]
Sem título.png
Sem título.png (9.42 KiB) Exibido 2450 vezes
Logo, pelo enunciado,

[tex3]\alpha\cdot\overline{OQ}=5[/tex3]

A medida de [tex3]\overline{MQ}[/tex3] (raio da circunferência de centro [tex3]M[/tex3] ) é a metade da de [tex3]\overline{OQ}[/tex3] (raio da circunferência de centro [tex3]O[/tex3] ) e, portanto, o ponto [tex3]O[/tex3] , assim como o [tex3]Q[/tex3] , também pertence à circunferência de raio [tex3]M[/tex3] . Isso faz com que o ângulo [tex3]\alpha[/tex3] seja um ângulo inscrito na circunferência e sua medida corresponda à metade da medida do ângulo central (pois ambos os ângulos determinam o mesmo arco [tex3]\widehat{QR}[/tex3] ), ou seja, [tex3]\angle{QMR}=2\alpha[/tex3] .
Sem título2.png
Sem título2.png (13.75 KiB) Exibido 2450 vezes
[tex3]\widehat{QR}=\angle{QMR}\cdot\overline{MQ}[/tex3]

Fazendo as devidas substituições...

[tex3]\widehat{QR}=2\alpha\cdot\frac{\overline{OQ}}{2}[/tex3]

[tex3]\widehat{QR}=\alpha\cdot\overline{OQ}=5[/tex3]

Última edição: csmarcelo (Sáb 28 Jan, 2017 10:42). Total de 1 vez.



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