Dois pontos A e D estão alinhados com o centro B da base de uma torre de transmissão elétrica,de altura BC,tal que AD =35 m ,AB=80 m, o ângulo abc é reto e os ângulos COB e CAB. TEM MEDIDAS (ALFA) E 90-(ALFA) respectivamente . Calcule a altura da torre...POR FAVOR QUERO MUITO ENTENDER
Ensino Médio ⇒ Trigonometria no triângulo retângulo Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jan 2017
19
12:33
Trigonometria no triângulo retângulo
Última edição: JéssicaMS (Qui 19 Jan, 2017 12:33). Total de 4 vezes.
Jan 2017
20
12:18
Re: Trigonometria no triângulo retângulo
Olá, Jéssica.
Fique à vontade para perguntar caso tenha alguma dúvida, ok?
A interpretação correta e completa do enunciado em forma de gráfico é a seguinte:
Agora, o meu desenvolvimento.
[tex3]\tan\alpha=\frac{45}{h}\rightarrow h=\frac{45}{\tan\alpha}\ (I)[/tex3]
[tex3]\tan(90^\circ-\alpha)=\cot\alpha=\frac{80}{h}\rightarrow h=\frac{80}{\cot\alpha}\ (II)[/tex3]
Igualando [tex3]I[/tex3] e [tex3]II[/tex3]
[tex3]\frac{45}{\tan\alpha}=\frac{80}{\cot\alpha}[/tex3]
[tex3]\frac{\tan\alpha}{\cot\alpha}=\frac{45}{80}[/tex3]
[tex3]\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2=\frac{45}{80}[/tex3]
[tex3]\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2=\frac{45}{80}\rightarrow\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha=\sqrt{\frac{45}{80}}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}[/tex3]
Voltando à equação [tex3]I[/tex3]
[tex3]\tan\alpha=\frac{45}{h}[/tex3]
[tex3]\frac{3}{4}=\frac{45}{h}\rightarrow h=60[/tex3]
Fique à vontade para perguntar caso tenha alguma dúvida, ok?
A interpretação correta e completa do enunciado em forma de gráfico é a seguinte:
Agora, o meu desenvolvimento.
[tex3]\tan\alpha=\frac{45}{h}\rightarrow h=\frac{45}{\tan\alpha}\ (I)[/tex3]
[tex3]\tan(90^\circ-\alpha)=\cot\alpha=\frac{80}{h}\rightarrow h=\frac{80}{\cot\alpha}\ (II)[/tex3]
Igualando [tex3]I[/tex3] e [tex3]II[/tex3]
[tex3]\frac{45}{\tan\alpha}=\frac{80}{\cot\alpha}[/tex3]
[tex3]\frac{\tan\alpha}{\cot\alpha}=\frac{45}{80}[/tex3]
[tex3]\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2=\frac{45}{80}[/tex3]
[tex3]\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2=\frac{45}{80}\rightarrow\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha=\sqrt{\frac{45}{80}}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}[/tex3]
Voltando à equação [tex3]I[/tex3]
[tex3]\tan\alpha=\frac{45}{h}[/tex3]
[tex3]\frac{3}{4}=\frac{45}{h}\rightarrow h=60[/tex3]
Última edição: csmarcelo (Sex 20 Jan, 2017 12:18). Total de 6 vezes.
Jan 2017
20
22:48
Re: Trigonometria no triângulo retângulo
Olá JéssicaMS.Com auxílio da fig. do companheiro csmarcelo observe uma 2ª solução:JéssicaMS escreveu: Dois pontos A e D estão alinhados com o centro B da base de uma torre de transmissão elétrica,de altura BC,tal que AD =35 m ,AB=80 m, o ângulo abc é reto e os ângulos COB e CAB. TEM MEDIDAS (ALFA) E 90-(ALFA) respectivamente . Calcule a altura da torre...POR FAVOR QUERO MUITO ENTENDER
Screen Shot 2017-01-19 at 13.35.22.png
[tex3]\leadsto[/tex3]
Aplicando Semelhança de Triângulos entre [tex3]\triangle_{ABC}[/tex3]
e [tex3]\triangle_{CBD}[/tex3]
, teremos:
[tex3]\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{BD}[/tex3]
[tex3]\frac{80}{BC}=\frac{BC}{45}[/tex3]
[tex3]BC.BC=45.80[/tex3]
[tex3]BC^2=3600[/tex3]
[tex3]\boxed{BC=60}[/tex3]
[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Calcule a altura da torre...[tex3]\Longrightarrow \boxed{\boxed{60 \ m}}[/tex3]
Resposta: [tex3]60 \ m[/tex3] .
Última edição: Marcos (Sex 20 Jan, 2017 22:48). Total de 1 vez.
''Nunca cruze os braços diante dos obstáculos, pois lembre-se que o maior dos Homens morreu de braços abertos.''
Jan 2017
21
12:10
Re: Trigonometria no triângulo retângulo
[quote="csmarcelo"]
Olá Marcelo. Muito obrigada pela explicação. Gostaria apenas de saber o que seria cot de alfa (cateto oposto?) e por que ele apareceu ali. Agradeço desde já, grande abraço!
Olá Marcelo. Muito obrigada pela explicação. Gostaria apenas de saber o que seria cot de alfa (cateto oposto?) e por que ele apareceu ali. Agradeço desde já, grande abraço!
Última edição: JéssicaMS (Sáb 21 Jan, 2017 12:10). Total de 1 vez.
Jan 2017
21
12:11
Re: Trigonometria no triângulo retângulo
Obrigada a todos pela resposta e atenção bons estudos !
Jan 2017
21
12:41
Re: Trigonometria no triângulo retângulo
Jéssica,
[tex3]\cot[/tex3] significa cotangente e é o inverso da tangente.
[tex3]\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}[/tex3]
[tex3]\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}[/tex3]
Se [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] são ângulos complementares, ou seja, [tex3]\alpha+\beta=90^\circ[/tex3] , então, [tex3]\sin\alpha=\cos\beta[/tex3] e [tex3]\cos\alpha=\sin\beta[/tex3] . Isso é um fato e pode ser demonstrado.
Agora, repare que é justamente o caso de [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]90^\circ-\alpha[/tex3] .
[tex3]\alpha+(90^\circ-\alpha)=90^\circ[/tex3]
Daí,
[tex3]\tan(90^\circ-\alpha)=\frac{\sin(90^\circ-\alpha)}{\cos(90^\circ-\alpha)}=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\cot\alpha[/tex3]
[tex3]\cot[/tex3] significa cotangente e é o inverso da tangente.
[tex3]\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}[/tex3]
[tex3]\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}[/tex3]
Se [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] são ângulos complementares, ou seja, [tex3]\alpha+\beta=90^\circ[/tex3] , então, [tex3]\sin\alpha=\cos\beta[/tex3] e [tex3]\cos\alpha=\sin\beta[/tex3] . Isso é um fato e pode ser demonstrado.
Agora, repare que é justamente o caso de [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]90^\circ-\alpha[/tex3] .
[tex3]\alpha+(90^\circ-\alpha)=90^\circ[/tex3]
Daí,
[tex3]\tan(90^\circ-\alpha)=\frac{\sin(90^\circ-\alpha)}{\cos(90^\circ-\alpha)}=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\cot\alpha[/tex3]
Última edição: csmarcelo (Sáb 21 Jan, 2017 12:41). Total de 1 vez.
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