Ensino MédioTrigonometria no triângulo retângulo Tópico resolvido

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JéssicaMS
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Trigonometria no triângulo retângulo

Mensagem não lida por JéssicaMS »

Dois pontos A e D estão alinhados com o centro B da base de uma torre de transmissão elétrica,de altura BC,tal que AD =35 m ,AB=80 m, o ângulo abc é reto e os ângulos COB e CAB. TEM MEDIDAS (ALFA) E 90-(ALFA) respectivamente . Calcule a altura da torre...POR FAVOR QUERO MUITO ENTENDER
Screen Shot 2017-01-19 at 13.35.22.png
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Última edição: JéssicaMS (Qui 19 Jan, 2017 12:33). Total de 4 vezes.



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csmarcelo
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Re: Trigonometria no triângulo retângulo

Mensagem não lida por csmarcelo »

Olá, Jéssica.

Fique à vontade para perguntar caso tenha alguma dúvida, ok?

A interpretação correta e completa do enunciado em forma de gráfico é a seguinte:
Sem título.png
Sem título.png (13.4 KiB) Exibido 3972 vezes
Agora, o meu desenvolvimento.

[tex3]\tan\alpha=\frac{45}{h}\rightarrow h=\frac{45}{\tan\alpha}\ (I)[/tex3]

[tex3]\tan(90^\circ-\alpha)=\cot\alpha=\frac{80}{h}\rightarrow h=\frac{80}{\cot\alpha}\ (II)[/tex3]

Igualando [tex3]I[/tex3] e [tex3]II[/tex3]

[tex3]\frac{45}{\tan\alpha}=\frac{80}{\cot\alpha}[/tex3]

[tex3]\frac{\tan\alpha}{\cot\alpha}=\frac{45}{80}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2=\frac{45}{80}[/tex3]

[tex3]\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2=\frac{45}{80}\rightarrow\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha=\sqrt{\frac{45}{80}}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}[/tex3]

Voltando à equação [tex3]I[/tex3]

[tex3]\tan\alpha=\frac{45}{h}[/tex3]

[tex3]\frac{3}{4}=\frac{45}{h}\rightarrow h=60[/tex3]

Última edição: csmarcelo (Sex 20 Jan, 2017 12:18). Total de 6 vezes.



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Marcos
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Re: Trigonometria no triângulo retângulo

Mensagem não lida por Marcos »

JéssicaMS escreveu: Dois pontos A e D estão alinhados com o centro B da base de uma torre de transmissão elétrica,de altura BC,tal que AD =35 m ,AB=80 m, o ângulo abc é reto e os ângulos COB e CAB. TEM MEDIDAS (ALFA) E 90-(ALFA) respectivamente . Calcule a altura da torre...POR FAVOR QUERO MUITO ENTENDER

Screen Shot 2017-01-19 at 13.35.22.png
Olá JéssicaMS.Com auxílio da fig. do companheiro csmarcelo observe uma 2ª solução:
csmarcelo.png
csmarcelo.png (14.99 KiB) Exibido 3959 vezes
[tex3]\leadsto[/tex3] Aplicando Semelhança de Triângulos entre [tex3]\triangle_{ABC}[/tex3] e [tex3]\triangle_{CBD}[/tex3] , teremos:

[tex3]\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{BD}[/tex3]
[tex3]\frac{80}{BC}=\frac{BC}{45}[/tex3]
[tex3]BC.BC=45.80[/tex3]
[tex3]BC^2=3600[/tex3]
[tex3]\boxed{BC=60}[/tex3]

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Calcule a altura da torre...[tex3]\Longrightarrow \boxed{\boxed{60 \ m}}[/tex3]

Resposta: [tex3]60 \ m[/tex3] .
Última edição: Marcos (Sex 20 Jan, 2017 22:48). Total de 1 vez.


''Nunca cruze os braços diante dos obstáculos, pois lembre-se que o maior dos Homens morreu de braços abertos.''

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JéssicaMS
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Re: Trigonometria no triângulo retângulo

Mensagem não lida por JéssicaMS »

[quote="csmarcelo"]

Olá Marcelo. Muito obrigada pela explicação. Gostaria apenas de saber o que seria cot de alfa (cateto oposto?) e por que ele apareceu ali. Agradeço desde já, grande abraço!
Última edição: JéssicaMS (Sáb 21 Jan, 2017 12:10). Total de 1 vez.



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JéssicaMS
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Re: Trigonometria no triângulo retângulo

Mensagem não lida por JéssicaMS »

Obrigada a todos pela resposta e atenção bons estudos !



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csmarcelo
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Re: Trigonometria no triângulo retângulo

Mensagem não lida por csmarcelo »

Jéssica,

[tex3]\cot[/tex3] significa cotangente e é o inverso da tangente.

[tex3]\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}[/tex3]

[tex3]\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}[/tex3]

Se [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] são ângulos complementares, ou seja, [tex3]\alpha+\beta=90^\circ[/tex3] , então, [tex3]\sin\alpha=\cos\beta[/tex3] e [tex3]\cos\alpha=\sin\beta[/tex3] . Isso é um fato e pode ser demonstrado.

Agora, repare que é justamente o caso de [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]90^\circ-\alpha[/tex3] .

[tex3]\alpha+(90^\circ-\alpha)=90^\circ[/tex3]

Daí,

[tex3]\tan(90^\circ-\alpha)=\frac{\sin(90^\circ-\alpha)}{\cos(90^\circ-\alpha)}=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\cot\alpha[/tex3]

Última edição: csmarcelo (Sáb 21 Jan, 2017 12:41). Total de 1 vez.



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