Ensino Médio ⇒ Equação de 2º Grau

[endrywmoraes]

Resolva a seguinte equação:

[tex3]5x^{8}+7x^{6}+x^{2} + 1 = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5x^{8}+7x^{6}+x^{2} + 1 = 0[/tex3]

Resposta

---

RESPOSTA: V = [tex3]\emptyset[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\emptyset[/tex3]

[miguel747]

Opa,

Vou tentar ajudar nessa questão:

Bem polinômios nesse caso você deve lembrar deste teorema aqui:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... _racionais

Vamos verificar se a dada equação de 8º grau atende as condições do teorema:

[tex3]5x^{8}+7x^{6}+x^{2} + 1 = 0[/tex3]

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[tex3]5x^{8}+7x^{6}+x^{2} + 1 = 0[/tex3]

equação principal

screenshot.12.jpg (23.02 KiB) Exibido 404 vezes

• Coeficientes [tex3]a_0\,\, \text{e}\,\,a_n[/tex3]

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  [tex3]a_0\,\, \text{e}\,\,a_n[/tex3]

  são diferentes de zero

• Cada solução racional [tex3]x[/tex3]

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  [tex3]x[/tex3]

  , quando escrita como uma fração irredutível [tex3]x = p/q[/tex3]

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  [tex3]x = p/q[/tex3]

  (isto é, em que o máximo divisor comum de [tex3]p[/tex3]

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  [tex3]p[/tex3]

  e [tex3]q[/tex3]

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  [tex3]q[/tex3]

  é [tex3]1[/tex3]

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  [tex3]1[/tex3]

  )

Então nesse caso vamos testar as possibilidades da fração [tex3]p/q[/tex3]

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[tex3]p/q[/tex3]

sendo que [tex3]p = 1[/tex3]

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[tex3]p = 1[/tex3]

e [tex3]q = 5[/tex3]

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[tex3]q = 5[/tex3]

.

Dai temos as possíveis soluções:

[tex3]x=\pm 1[/tex3]

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[tex3]x=\pm 1[/tex3]

ou [tex3]x=\pm 1/5[/tex3]

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[tex3]x=\pm 1/5[/tex3]

;

Testando essas 4 possibilidades vemos que o polinômio não possui raízes racionais. Logo a solução é vazia. [tex3]S = \emptyset[/tex3]

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[tex3]S = \emptyset[/tex3]

Note que se a equação por exemplo fosse:

[tex3]5x^{8}-7x^{6}+x^{2} + 1 = 0[/tex3]

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[tex3]5x^{8}-7x^{6}+x^{2} + 1 = 0[/tex3]

equação modificada

screenshot.11.jpg (23.3 KiB) Exibido 404 vezes

As raízes [tex3]x = \pm 1[/tex3]

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[tex3]x = \pm 1[/tex3]

seriam soluções da referida equação a qual poderia ser fatorada por esses dois termos numa divisão e assim poderia achar o restante das soluções.

Ainda dá pra fazer utilizando análise de sinais da equação mas isso limita o pouco o escopo e certamente não atende a maioria das equações.

Espero que tenha ajudado.

Abs,

Miguel.

[undefinied3]

Só gostaria de acrescentar à resolução de nosso amigo Miguel que, apesar de não haver raízes racionais, ainda poderíamos ter raízes irracionais ou complexas que não seriam encontradas pelo teorema da raiz racional. No caso teríamos que recorrer a alguma fatoração para resolver, mas não é o caso dessa questão.

Note que todos os termos são de grau par, então todos são não negativos se considerarmos que x pertence aos reais (que, pelo gabarito apresentado pelo endrywmoraes, é verdade apesar da questão não deixar claro). Assim, temos uma soma de 3 termos não negativos + 1, que nunca poderá dar zero em função desse 1 somado ao final. Assim, concluimos que a solução é de fato o conjunto vazio.