Ensino MédioFunção Composta Tópico resolvido

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paulojorge
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Jan 2017 04 21:10

Função Composta

Mensagem não lida por paulojorge »

Sendo f(x) = \sqrt{1 - 4x^{2}} e g(\theta) = sen 2\theta, encontre os valores de \theta para os quais f o g se anula.

Não sei nem por onde começar :(
Resposta

\theta = \pm \frac{\pi }{12} + k\pi, \theta = \frac{5\pi }{12} + k\pi ou \theta = \frac{7\pi }{12} + k\pi

Última edição: paulojorge (Qua 04 Jan, 2017 21:10). Total de 4 vezes.


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Rafa2604
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Jan 2017 04 21:46

Re: Função Composta

Mensagem não lida por Rafa2604 »

Sendo f(x) = \sqrt{1 - 4x^{2}} e g(\theta) = sen 2\theta, encontre os valores de \theta para os quais f o g se anula.

Queremos que: f(g(\theta)) = 0, ou seja queremos um certo x em que f(x) = 0.

Temos então que:
f(x) = \sqrt{1 - 4x^{2}} \;\; \rightarrow \;\; \sqrt{1 - 4x^{2}} = 0 \;\; \rightarrow \;\; 1-4x^2 = 0 \;\; \rightarrow \;\; 4x^2 = 1 \;\;  \rightarrow \;\; \\ \rightarrow \;\; x^2 = \frac{1}{4} \;\; \rightarrow \;\; x = \pm \frac{1}{2}

Logo temos que f(g(\theta)) = 0 e descobrimos que f\left(\pm \frac{1}{2} \right) = 0.
Portanto temos que: g(\theta) = \pm \frac{1}{2}.
Ou seja, temos que: sen2\theta = \pm \frac{1}{2}

Para descobrirmos o valor de \theta fazemos:
sen2\theta = \pm \frac{1}{2} \;\; \rightarrow \;\; 2\theta = arcsen\left(\pm \frac{1}{2} \right) \;\; \\\\ \rightarrow \;\; 2\theta = \pm 0.52\;\text{rad} \;\; \rightarrow \;\; \theta = \pm 0.26 \;\text{rad}

Última edição: Rafa2604 (Qua 04 Jan, 2017 21:46). Total de 1 vez.



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csmarcelo
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Jan 2017 05 07:54

Re: Função Composta

Mensagem não lida por csmarcelo »

Rafa,

Você não considerou todos os ângulos possíveis. Não se esqueça de que sempre existem dois ângulos associados a um valor de seno qualquer.

Além disso, como \frac{1}{2} corresponde ao seno de um ângulo notável, dispensa aproximações.

Se \sin2\theta=\frac{1}{2},

Então,

2\theta\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\frac{7\pi}{6}\frac{11\pi}{6}\right\}

Logo,

\theta\in\left\{\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}\frac{7\pi}{12}\frac{11\pi}{12}\right\}
Sem título.png
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Última edição: csmarcelo (Qui 05 Jan, 2017 07:54). Total de 1 vez.



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